黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第二章 导数与微分

第二章导数与微分 习题课 巴主要内容 四典型例题

庄一、主要内容 关d 系d y分=y分Ay=+0(△x) 基本公式 导数 微分 △y 高阶号数 lim 小y=y△x △x→>0△v 高阶微分 求导法则 王页下

求 导 法 则 基本公式 导 数 x y x    →0 lim 微 分 dy = yx 关 系 y dy y dx y dy o( x) dx dy =   =    = +  高阶导数 高阶微分 一、主要内容

上1、导数的定义 c定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义 牛当自变量在x处取得增量△(点x+△仍在该邻域 内时相应地函数取得增量少=f(x+A-(x) 如果4y与△x之比当Ax→0时的极限存在,则称函数 y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x) 在点x处的导数记为y=。,,或( x=x 即 dx y=>△=mf(x+△x)-f(x) △x→0△x△x-0 △x 上页

1、导数的定义 在点 处的导数 记为 或 即 在点 处可导 并称这个极限为函数 如果 与 之比当 时的极限存在 则称函数 内 时 相应地函数 取得增量 当自变量 在 处取得增量 点 仍在该邻域 设函数 在点 的某个邻域内有定义 , ( ) , , ( ) , ( ) 0 , ) , ( ) ( ); ( ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x dx df x dx dy x y y f x x y f x y x x y y f x x f x x x x x x y f x x = = =  = =    →  = +  −  +  定义 = . ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x y y x x x x  +  − =    =  →  → =

单侧导数 1左导数: ∫"(x0)=Iim f(x)-f( li f(xo+△x)-f(x0) m x→. X- △r △x 2右导数: 工工工 ∫(x0)=li f(x)-f( o x→xa+0 2=himf(x+△)-f(x) △ 中函数f(x)在点x处可导→左导数/(x)和右 导数f(x0)都存在且相等 上页

2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x  +  − = − −  = → −  →− − ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x  +  − = − −  = → +  →+ + 函数 f (x)在点x0 处可导左导数 ( ) x0 f −  和右 导数 ( ) x0 f +  都存在且相等

2、基本导数公式(常数和基本初等函数的导数公式) C)=0 ↓ (sin x)=cosx (cos x)=-sin x (tan x)=secx (cot x)'=-csc2x eT (secx)'=secxtgx (csc x)=-csc xctgx (a)=a Ina 工工工 (oga x= n na 1 (arcsin x) (arccos x) (arctan x) 1+x2 (arccot x)= 十 上页

2、基本导数公式 2 2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) ln 1 (log ) ( ) ln (sec ) sec (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 x x x x x a x a a a x xtgx x x x x C a x x +  = −  =  =  =  =  =  =  = （常数和基本初等函数的导数公式） 2 2 2 1 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) 1 (ln ) ( ) (csc ) csc (cot ) csc (cos ) sin ( ) x x x x x x e e x xctgx x x x x x x x x +  = − −  = −  =  =  = −  = −  = −  =   − arc

3、求导法则 (1)函数的和、差、积、商的求导法则 设u=l(x),v=v(x)可导,则 上()(a±)y=nl±p,(2)(c)=cm!f是常数), (3)(uv)y=u'v+uv',(4) u'y-uv 2(≠ 0) 庄(反函数的求导法则 如果函数x=q(y)的反函数为=f(x,则有 f"(x)= p(x) 上页

3、求导法则 设u = u(x), v = v(x)可导，则 （1）(u  v) = u  v, （2）(cu) = cuc( 是常数), （3）(uv) = uv + uv, （4）( ) ( 0) 2   −   = v v u v uv v u . (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 . ( ) 1 ( ) ( ) ( ), x f x x y y f x     = 如果函数 = 的反函数为 = 则有

(3)复合函数的求导法则 c设y=f(,而n=q(x则复合函数y=9(x)导数为 dx du dx 或y(x)=f(n)q'(x) 王(对数求导法 c先在方程两边取对数然后利用隐函数的求导方法 求出导数 工工 中适用范围: 多个函数相乘和幂指函数u(x)x)的情形. 上页

(3) 复合函数的求导法则 ( ) ( ) ( ). ( ), ( ) [ ( )] y x f u x dx du du dy dx dy y f u u x y f x =   =    = =  =  或 设 而 则复合函数 的导数为 (4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v( x)的情形

士王士 (5)隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 (6)参变量函数的求导法则 若参数方程 「x=p(t) 确定y与x间的函数关系, y=y(t) d =t=y():dy(0(0-y(0(0 牛岙0)a2 q°(t) dt 上页

(5) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. , ( ) ( ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系 y t x t    = =   ; ( ) ( ) t t dt dx dt dy dx dy     = = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y         −   = (6) 参变量函数的求导法则

c4、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 二阶导数(f(x)y=lim ∫(x+△x)-f(x) △x→>0 △ 记作 f以,,a或d2f(x) 2 dr 2 d x 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x),y d x 工工工 一般地函数f(x)n-阶导数的导数称为 函数f(x)的m阶导数,记作 f((x),y(,,或 f(x d x 上页

4、高阶导数 , ( ) ( ) ( ( )) lim 0 x f x x f x f x x   +  −    =  → 二阶导数 记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f  x y 或 ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f  x y , 函数 的 阶导数 记作 一般地 函数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)

5、微分的定义 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0及x0+△x 在这区间内,如果 4y=f(x0+Ax)-f(x0)=A△x+o(△x) 成立(其中A是与△无关的常数),则称函数y=f(x) 在点x0可微并且称A·△x为函数y=f(x)在点x0相应 于自变量增量△的微分记作或(x即 x=0 =A·△x 微分小叫做函数增量4y的线性主部.(微分的实质)

5、微分的定义 定义 . , ( ), , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy A x x dy df x x A x y f x x A x y f x y f x x f x A x o x y f x x x x x x x x =      =  =  = +  − =   +  = +  = 于自变量增量 的微分 记作 = 或 即 在点 可微 并且称 为函数 在点 相应 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 在这区间内 如果 设函数 在某区间内有定义 及 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)