第一节不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 巴三、不定积分的性质 四、小结思考题
、原函数与不定积分的概念 定义:如果在区间内,可导函数F(x)的 导函数为f(x),即x∈I,都有F(x)=f(x) 或!F(x)=∫(x)d,那么函数F(x)就称为f(x) 午或f(x)在区间内原函数 工工工 例(sinx)= cos sin是cosx的原函数 (nx)=( x>0) lnx是在区间(0,+0)内的原函数 上页
例 (sin x) = cos x sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F(x)的 即x I，都有F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx，那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x)， 或 f (x)dx在区间I 内原函数. 一、原函数与不定积分的概念
王原函数存在定理: 如果函数f(x)在区间内连续, 那么在区间I内存在可导函数F(x), 使vx∈I,都有F'(x)=f(x) 简言之:连续函数一定有愿函数 问题:(1)原函数是否唯 (2)若不唯一它们之间有什么联系? 工工 上例(inx)=csx(sinx+C)=csx (C为任意常数) 上页
原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin x) = cos x (sin x C) = cos x + （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x)， 使x I，都有F(x) = f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
关于原函数的说明: (1)若F(x)=∫(x),则对于任意常数C F(x)+C都是∫(x)的原函数 王(2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数, 庄则F(x)-G(x)=C(C为任意常数 证∵[F(x)-G(xj=F(x)-G(x) =f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 王页下
关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数）
不定积分的定义: 在区间Ⅰ内,函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称为f(x)在区间/内的 王不定积分,记为(x) ∫r(xk=F(x)+C 被 任 积分号 积 函 数 被积表达式 积分变量 数 上页
任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分的定义： 在区间I 内， f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f (x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f (x)在区间I 内的 不定积分，记为 f (x)dx
例1求∫x5x 6 6 解 = xdx=-+C 6 例2求∫ 1+x 解∵:( arctan)= .h2 9 dx= arctan+C 1+x2 上页
例1 求 . 5 x dx 解 , 6 5 6 x x = . 6 6 5 C x x dx = + 解 例2 求 . 1 1 2 + dx x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + = arctan . 1 1 2 = + + dx x C x
例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 上切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 王解设曲线方程为=/ 根据题意知中=2x, 生即()是2的一个原函数 2xdx=x+C,.. f(x)=x+C, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1 上页
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2 xdx = x + C ( ) , 2 f x = x + C 由曲线通过点（1，2） C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +
函数∫(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 显然,求不定积分得到一积分曲线族 由不定积分的定义,可知 d 4f(x)b」=f(x) f(x)]=f(x)dc, HE SF(dx=F(x)+C, dF(x)=F(x)+C 结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的 上页
函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 f (x)dx f (x), dx d = d[ f (x)dx] = f (x)dx, ( ) ( ) , F x dx = F x + C ( ) ( ) . dF x = F x + C 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的
庄三、基本积分表 +1 μ+1 实例 +1/= →|x"d +C 凡+1 (≠-1) 启示能否根据求导公式得出积分公式? 王结论既然积分运算和微分运算是互逆的, 公 上页
实例 x x = + + 1 1 . 1 1 C x x dx + + = + 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. ( −1) 二、 基本积分表
基()∫4x=kx+C(是常数; 本 μ+1 积 (2)」xtc u+1 +C(μ≠-1); 分 dx (3) =Inx+c: 表 d x 说明:x>0,→ ∫=mx+C, 1 x<0,n(-x)=(-x)= dx d → n(-x)+C, =In x +C, dx 简写为 = Inx+C 上页
基 本 积 分 表 (1) kdx = kx + C (k 是常数); ( 1); 1 (2) 1 + − + = + C x x dx (3) ln ; = x + C x dx 说明： x 0, ln , = x + C x dx x 0, [ln(−x)] = , 1 ( ) 1 x x x − = − ln( ) , = − x + C x dx ln | | , = x +C x dx 简写为 ln . = x + C x dx
