第十一节闭区间上连续 函数的性质 最大值和最小值定理 巴二、介值定理 小结思考题
生-、最大值和最小值定理 定义:对于在区间上有定义的函数f(x) 如果有x0∈I,使得对于任—x∈I都有 f∫(x)≤∫(x)(f(x)≥f(x0) 则称f(x0是函数f(x)在区间Ⅰ上的最大(小)值 例如,y=1+inx,在0,2上,Jm=2,ym=0 中y=gnx,在(-∞+0)上,ym=1,Jm=-1 在(0,+∞)上, 1 max nIn 上页
一、最大值和最小值定理 定义: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ( ) ( )) , ( ), 0 0 0 0 则 称 是函数 在区间 上的最大 小 值 如果有 使得对于任一 都 有 对于在区间 上有定义的函数 f x f x I f x f x f x f x x I x I I f x 例如, y = sgn x,在(−,+)上, 2, ymax = 1; ymin = − 在(0,+)上, 1. ymax = ymin = y = 1+ sin x, 在[0,2]上, 0; ymin = 1, ymax =
定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值 若∫(x)∈Ca,b,y 则丑51,E2∈a,b, y=f(r) 王使得W(14 有∫(1)≥f(x) 王f()≤f(x) 251bx 上注意1若区间是开区间定理不一定成立 2若区间内有间断点,定理不一定成立. 王页下
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. a b 2 1 x y o y = f (x) ( ) ( ). ( ) ( ), [ , ], , [ , ], ( ) [ , ], 2 1 1 2 f f x f f x x a b a b f x C a b 有 使得 则 若 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立
y=f(x) f(x) ● 12 2 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界 生证设函数()上连续e2 有msf(x)≤M,取K=max{m,M}, 则有(x)≤k.,:函数()(,上有界 圆[t 上页
x y o y = f (x) 1 2 1 x y o 2 y = f (x) 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数f (x)在[a,b]上连续, x [a,b], 有 m f (x) M, 取 K = max{m, M }, 则有 f (x) K. 函数f (x)在[a,b]上有界
王二、介值定理 定义:如果x使f(x0)=0,则x称为函数 庄f(x零点 定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b 上连续,且()与()异号即r(o,(b)<0, 那末在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零 点即至少有一点(a<E<b,使/(=0 牛即方程∫(x)=0在(a,b内至少存在一个实根 上页
二、介值定理 定理 3(零点定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上连续，且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0), 那末在开区间(a,b)内至少有函数 f (x)的一个零 点,即至少有一点 (a b)，使 f () = 0. 定义: ( ) . ( ) 0, 0 0 0 的零点 如 果 使 则 称为函数 f x x f x = x 即方程 f (x) = 0在(a,b)内至少存在一个实根
几何解释: 压连续曲线弧y=∫(x)的两个y= 端点位于x轴的不同侧,则曲 1 S253 bx 生线孤与至少有二个交点 定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b] 工工工 上连续,且在这区间的端点取不同的函数值 ∫(a)=A及∫(b)=B, c那末,对于4与B之间的任意一个数,在开区间 (a,b)内至少有一点,使得f(5)=C(a<<b
a 3 b 2 1 几何解释: . , ( ) 线弧与 轴至少有一个交点 端点位于 轴的不同侧 则曲 连续曲线弧 的两个 x x y = f x 定理 4(介值定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) = A 及 f (b) = B , 那末，对于A与B 之间的任意一个数C ，在开区间 (a,b)内至少有一点 ，使得 f ( ) = C (a b). x y o y = f (x)
证设g(x)=f(x)-C,川 上则g(x)在a,b上连续,B 且@(a)=f(a)-C C三(x =A-C, A R/5152532bx 0)=0-c=BC,吨 q(a)·g(b)<0,由零点定理,彐5∈(a,b),使 5)=0.,即叭()=f5)-C=0,(5)=C 几何解释:连续曲线弧y=f(x)与水平 直线y=C至少有一个交点 上页
几何解释: M B C A m a x1 1 2 3 x2 b x y o y = f (x) 证 设(x) = f (x) − C, 则(x)在[a,b]上连续, 且(a) = f (a) − C = A − C, (b) = f (b) − C= B − C, (a)(b) 0, 由零点定理, (a,b),使 ( ) = 0, 即( ) = f ( ) − C = 0, f ( ) = C. . ( ) 直线 至少有一个交点 连续曲线弧 与水平 y C y f x = =
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值M与最小值m之间的任何值 例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内 至少有一根 证令f(x)=x3-4x2+1,则f(x)在0,1上连续, 又∫(0)=1>0,f(1)=-2<0,由零点定理, 彐∈(a,b),使∫(5)=0,即23-452+1=0, 方程x3-4x2+1=0在(0,)呐至少有一根ξ 上页
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值. 例1 . 4 1 0 (0,1) 3 2 至少有一根 证明方程 x − x + = 在区间 内 证 ( ) 4 1, 3 2 令 f x = x − x + 则f (x)在[0,1]上连续, 又 f (0) = 1 0, f (1) = −2 0, 由零点定理, (a,b), 使 f ( ) = 0, 4 1 0, 3 2 即 − + = 4 1 0 (0,1) . 3 2 方程x − x + = 在 内至少有一根 M m
例2设函数/x在区间a上连续且ab.证明∈(a,b),使得∫(4)=2 王证令F()=1()-x,则F()在(nb上连续, 而F(a)=f(a)-a0,由零点定理, 王35(a0,使F(5)=/(5)-5=0 牛即/(5)=5 上页
例2 ( ) . ( , ), ( ) . ( ) [ , ] , ( ) , = f b b a b f f x a b f a a 证 明 使 得 设函数 在区间 上连续 且 证 令 F(x) = f (x) − x, 则F(x)在[a,b]上连续, 而 F(a) = f (a) − a 0, 由零点定理, (a,b), 使 F( ) = f ( ) − = 0, F(b) = f (b) − b 0, 即 f ( ) =
王三、小结 庄四个定理 王有界性定理最值定理介值定理根的存在性定理 注意1.闭区间;2.连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立 工工工 解题思路 A1.直接法先利用最值定理再利用介值定理; 2辅助函数法:先作辅助函数F(x,再利用零点定理 上页
三、小结 四个定理 有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;