§2.3抽样分布 尽管在一般情况下,要确定某个统计量的分布是非常困难 的,但在总体服从正态分布时,可以确定某些统计量的分布 定理3.1设总体X~N(u,o2),X1,X2,…,X为其 样本,则样本均值ⅹ与样本方差S独立,且有 X-H N(0,1 (3.1) 2)n2(x1-m)~x2(m) (3.2) (n-1)S21 LE(x-x) x(n X (3.4) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 § 2.3 抽样分布 尽管在一般情况下,要确定某个统计量的分布是非常困难 的,但在总体服从正态分布时,可以确定某些统计量的分布. 定理 3.1 设总体 X ～ ( ) 2 N , ,X X Xn , , , 1 2 为其 样本,则样本均值 X 与样本方差 2 S 独立，且有 1） X n − ～ N(0，1) (3.1) 2） 2 2 1 1 ( ) n i i X = − ～ ( ) 2 n （3.2） 3) 2 2 ( 1) n S − = 2 2 1 1 ( ) n i i X X = − ～ ( 1) 2 n − (3.3) 4） X S n − ～t(n-1) (3.4)
证明因为X,X2,…,X相互独立,且均服从N(u,a2),所以 )F、x也服从正态分布,且E(X)=m1人 n i= 故 X~N(A,),即有 N0,1) x1-X2- X 2) 相互独立,且均服从N(0,1) 由定义21知(3.2)成立 样本均值X与样本方差S2独立性、(3.3)及(34) 的证明从略. 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 证明 因为X X X n , , , 1 2 相互独立，且均服从 ( ) 2 N , ，所以 1） X = n 1 1 n i i X = 也服从正态分布，且 ( ) , ( ) , 2 n E X D X = = 故 X ～ N( , n 2 )，即有 X n − ～N(0，1). 2） 1 , X − 2 , X − …, X n − 相互独立，且均服从 N(0,1), 由定义 2.1 知(3.2)成立. 样本均值 X 与样本方差 2 S 独立性、(3.3)及(3.4) 的证明从略
请注意(3.1)与(34),(3.2)与(33)的区别和联系 现在我们讨论关于两个正态总体的统计量 的分布.从正态总体X抽取容量为n样本,其样 本均值记为X、样本方差记为S2;从正态总体Y 抽取容量为m样本,其样本均值记为、样本 方差记为S2;并假设所有的观察都是独立的, 即两个样本独立 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 请注意(3.1)与(3.4),(3.2)与(3.3)的区别和联系. 现在我们讨论关于两个正态总体的统计量 的分布.从正态总体 X 抽取容量为 n 样本，其样 本均值记为 X 、样本方差记为 2 S1 ；从正态总体 Y 抽取容量为 m 样本，其样本均值记为Y 、样本 方差记为 2 S2 ；并假设所有的观察都是独立的， 即两个样本独立
定理32设总体X~N(m1,o2),总体Y~N(,a),则有 1)s2~F(n-1,m1) (3.5) (X-1)-(41-/2) ~t(n+m-2)(3.6) 其中 2(n-1)S1+(m=152 n+m-2 S 证明:略 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 定理 3.2 设总体 X～ ( )2 1 N , ,总体 Y～ ( )2 2 N , ,则有 1） 2122 SS ～F(n-1,m-1) (3.5) 2) 1 2 ( ) ( ) 1 1 X YS n m − − − + ～t(n+m-2) (3.6) 其中 2 S = 2 2 1 2 ( 1) ( 1) 2 n S m S n m − + − + − ，S = 2 S . 证明：略
定理33设总体X~N(A1a2),总体Y~N(2a2) 则有 x-y-( N(0,1)(37) 2) (n-1m-1)(3.8) 以上定理统称为抽样分布定理,这些定理在以后的区间 估计、假设检验中有非常重要的作用 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 定理 3.3 设总体 ( ) 2 X N ~ , 1 1 ，总体 ( ) 2 Y N ~ , 2 2 , 则有 1) ( ) 1 2 2 2 1 2 ( ) ~ 0,1 x y N n m − − − + (3.7) 2) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 ~ 1, 1 s F n m s − − (3.8) 以上定理统称为抽样分布定理,这些定理在以后的区间 估计、假设检验中有非常重要的作用
例31设x,x2…x1为正态总体N(0,2)的样本,求常数 a,b,c,d,使 Q ax blr+ x 2 )+c(x1+x+x)+(x,+x+x+x1) 服从x2分布并求自由度m 解由于x-N02),且x之间相互独立,因此 x1~N(0,2),,x~N(0,1) 故 湘潭大学数学与计算科学院一页一页]6
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 例 3.1 设 1 2 10 x , x , x 为正态总体 ( ) 2 N 0,2 的样本,求常数 a,b,c,d,使 ( ) ( ) ( ) 2 7 8 9 1 0 2 4 5 6 2 2 3 2 Q = ax1 + b x + x + c x + x + x + d x + x + x + x 服从 2 分布,并求自由度 m. 解 由于 xi 2 N(0,2 ),且 xi之间相互独立, 因此 2 1 x N(0, 2 ), 1 2 1 x N(0,1), 故 2 2 1 1 (1); 4 x
同理 x2+x3~N(0,8) 故 (x2+x3)~x2(1); 8 而 x4+x5+x6~N(0,12) 所以 (x4+x5+x6)~x2(1); +x8+x+xo~N(O,16), 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 同理 2 3 x x N + (0,8), 故 2 2 2 3 1 ( ) (1); 8 x x + 而 456 x x x N + + (0,12), 所以 2 2 456 1 ( ) (1); 12 x x x + + 7 8 9 10 x x x x N + + + (0,16)
故 (x+x8+x+x10)2~x(1) 由x2分布的可加性可知, x+(x2+x3)2+;(x4+x5+x)+,(x+x3+x+x 0)~x2(4) 因此当a=1,b=1c=1d=时Q服从自由 16 度为m=4的x分布 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 故 2 2 7 8 9 10 1 ( ) (1); 16 x x x x + + + 由 2 分布的可加性可知, 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) (4); 4 8 12 16 x x x x x x x x x x + + + + + + + + + 因此当 1 1 1 1 , , , 4 8 12 16 a b c d = = = = 时,Q 服从自由 度为 m=4 的 2 分布
例3.2设总体X和Y相互独立且均服从正态分布 N(0,32,而x1,x2…x和y12y2…,y分别为总体X和 Y的样本,试证明统计量 x1+x,++x T t(9) 2 2 +y2+…+ 证明因为x和y(i=1,2…,9独立同分布,所以 y1~N(0,1) vi-x 9 故 y12 N(0,1) x2(9 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9 例 3.2 设总体 X 和 Y 相互独立且均服从正态分布 N(0,32 ),而 1 2 9 x x x , , , 和 1 2 9 y y y , , , 分别为总体X和 Y 的样本,试证明统计量 1 2 9 2 2 2 1 2 9 (9). x x x T t y y y + + + = + + + 证明 因为 i x 和 i y ( 1,2, ,9) i = 独立同分布, 所以 1 1 2 2 (0,1), (1), 3 9 i i y N y 故 9 9 2 1 1 2 (0,1), (9) 9 9 i i i i x y N = =
令 X U N(O,1),V=~x(9) 则U和相互独立,且由t分布的定义可知 T 于是 9∠(9) T x1+x2+…+xg t(9) +12+…+ y9 以上定理统称为抽样分布定理这些定理在以后的区间估 计、假设检验中有非常重要的作用. 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 10 令 9 9 2 1 1 2 (0,1), (9), 9 9 i i i i x y U N V = = = = 则U和V相互独立,且由t分布的定义可知, (9), 9 U T t V = 于是 1 2 9 2 2 2 1 2 9 (9). 9 U x x x T t V y y y + + + = = + + + 以上定理统称为抽样分布定理,这些定理在以后的区间估 计、假设检验中有非常重要的作用