第一章基础知识 1.1多维随机变量及其分布 随机向量的概念 多维随机变量也就是多个随机取值的变量,也称为随机向量 定义如果随机变量X1…,Xn定义在同一概率空间(923P)上,则称 X=(X12…Xn) 构成一个n维随机向量,称之为n维随机变量。 定义设x1,x2,…xn为实数,称n元函数 F(x12x2,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn} 为随机向量X=(X1,Xn)的联合分布函数。 n元分布函数具有以下性质: (1)对任一x是单调不减的 (2)对任一x1是右连续的 (3)F(+∞,+0…+∞)=limF(x1,x2,…x)=l x1+0 n)=limF(x1,…,xn)=0 对n元离散随机变量还有其联合概率分布P(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn).而对n元 连续随机变量则存在非负可积函数f(x12x2…,xn),使得 F(x,x2…x)=…∫/(1n…,)中…d 这里的∫(x,x2,…,xn)称为联合密度函数,满足条件 f(x1,x2…xn)≥0 x 00 例1多项分布M(n,P2P2,…,Pn) 做n次重复独立试验,每次试验的结果为A,A2…,Am,P(A)=P,=1,2,,m 且
第一章 基础知识 1．1 多维随机变量及其分布 一 随机向量的概念 多维随机变量也就是多个随机取值的变量，也称为随机向量。 定义 如果随机变量 1 , , X X n 定义在同一概率空间 ( , , ) P 上，则称 X=( 1 , , X X n ) 构成一个 n 维随机向量，称之为 n 维随机变量。 定义 设 1 2 , , n x x x 为实数，称 n 元函数 1 2 1 1 2 2 ( , , ) { , , , } F x x x P X x X x X x n n n = 为随机向量 X=( 1 , , X X n )的联合分布函数。 n 元分布函数具有以下性质： （1） 对任一 i x 是单调不减的； （2） 对任一 i x 是右连续的； （3） 1 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 1; lim n n x x F F x x x →+ →+ + + + = = 1 1 1 1 ( , , , , , , ) lim ( , , ) 0. i i i n n x F x x x x F x x − + →− − = = 对 n 元离散随机变量还有其联合概率分布 1 1 2 2 ( , , , ). P X x X x X x = = = n n 而对 n 元 连续随机变量则存在非负可积函数 1 2 ( , , , ) n f x x x ，使得 1 1 2 1 2 1 2 ( , , ) ( , , , ) . n x x F x x x f y y y dy dy dy n n n − − = 这里的 1 2 ( , , , ) n f x x x 称为联合密度函数，满足条件： 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) 0, ( , , , ) 1. n n n f x x x f x x x dx dx dx + + − − = 例1 多项分布 1 2 ( , , , , ) M n p p pn 做 n 次重复独立试验，每次试验的结果为 1 2 , , , , ( ) , 1,2, , . A A A P A p i m m i i = = 且
P1=1,P 若记X表示在n次试验中A出现的次数,则m维随机变量(X1,X2,…,Xn)的概率分布 P(X Xn=n= P"p2…Pm n, 这里n20∑n 例2设∑=()为n阶正定对称矩阵,以表示Σ的行列式的值,=(H12…,) 为任意向量,则有密度函数 (2)2p2F 定义的分布称为n元正态分布,简记为N(,∑) 边缘分布 设F(x1,x2…xn)为n元分布函数,任意保留k(0≤k≤n)个x,例如x,x2…,x 而令其它的x都趋向于+∞,即 F(x12x2,…xk,+…,+∞)=limF(x12x2…,x)。 xk+1→+① xn→+00 显然,F(x1,x2…x,+0,…+∞)是一k元分布函数,称为F(x1,x2…xn)的k元 边缘分布函数 如果F(x,x2,…x)是连续型的,即有密度函数∫(x1x2,…,xn),则 F(x1,x23…xk,+∞,…,+∞)也是连续型的,其密度函数为 f2(x1,x2…,xk) fo xn) dx,dx2…ax 如果F(x1,x2…xn)是离散型的,则F(x1x2…xk,+∞,…,+∞)也是离散型的,其 边缘概率分布为 P(X1=x1,X2 x)=∑P(x1=x
1 1, 0. n i i i p p = = 若记 Xi 表示在 n 次试验中 Ai 出现的次数，则 m 维随机变量 1 2 ( , , , ) X X X n 的概率分布 为 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ! ( , , , ) , ! ! ! n n nm m m m m n P X n X n X n p p p n n n = = = = 这里 1 0, 1. m i i i n n = = 例2 设 ( ) = ij 为 n 阶正定对称矩阵， 表示 的行列式的值， 1 2 ( , , , ) = n 为任意向量，则有密度函数 1 1 2 1 2 2 1 1 ( , , , ) exp{ ( ) ( )} 2 (2 ) n n f x x x x x − = − − − 定义的分布称为 n 元正态分布，简记为 N( , ). 二 边缘分布 设 1 2 ( , , ) F x x xn 为 n 元分布函数，任意保留 k (0 ) k n 个 , i x 例如 1 2 , , k x x x ， 而令其它的 j x 都趋向于 + ，即 1 1 2 1 2 ( , , , , , ) ( , , , ) lim k n k n x x F x x x F x x x + →+ →+ + + = 。 显然， 1 2 ( , , , , , ) F x x xk + + 是一 k 元分布函数，称为 1 2 ( , , ) F x x xn 的 k 元 边缘分布函数。 如 果 1 2 ( , , ) F x x xn 是 连 续 型 的 ， 即 有 密 度 函 数 1 2 ( , , , ) n f x x x ， 则 1 2 ( , , , , , ) F x x xk + + 也是连续型的，其密度函数为 1,2, , 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) k k n k k n f x x x f x x x dx dx dx + + + + − − = 。 如果 1 2 ( , , ) F x x xn 是离散型的，则 1 2 ( , , , , , ) F x x xk + + 也是离散型的，其 边缘概率分布为 1, , 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ). k xn k k n n x P X x X x X x P X x X x X x + = = = = = = =
注:边缘分布函数由联合分布函数惟一确定;反之不然,即不同的分布函数可能有相同的边 缘分布函数。 例设有两个二元分布函数F(xy)和G(xy),密度函数分别为 f(xy)=/x+y如果0≤xs1,0≤y≤1 0其他 +x)+y),如果0≤x≤1,0≤y≤1 g(x,y) 0,其他; 显然,F(xy)和Gxy)不恒等。但它们的边缘密度函数分别为 f()(xy)=(x+y)b=+120≤x g()8yb2+2+9)=x+205xE 所以fx(x)=gx(x).同理可知∫(y)=81(y) 三随机变量的独立性 定义设X1…Xn为n个随机变量,如果对任意实数x1,x2,…xn成立 P{X1≤x,X2≤x2,…,Xn≤xn}=P{X1≤x}P(X2≤x2}…P{Xn≤xn}, 则称X1y,Xn是相互独立的 如果X1的分布函数为F(x),它们的联合分布函数为F(x12x2,…xn),则相互独立性 等价于对一切x1,x2…xn,成立 F(x1,x2,…xn)=F1(x1)F2(x2)…Fn(xn) 在独立条件下,由随机变量的边缘分布可惟一确定其联合分布函数。 对离散型随机变量,其相互独立性等价于对任何一组可能取的值(x12x2,…x),成立 P{x1=x,X2=x2,…,Xn=xn}=P{X1=x1}P(X2=x2}…P(Xn=xn} 对连续随机变量X1…,Xn相互独立的充要条件是 ∫(x1,x2…xn)=f1(x1)(x2)…fn(x) 即联合分布密度函数等于边缘分布密度函数之积。 随机变量X1…Xn两两独立的充要条件是
注：边缘分布函数由联合分布函数惟一确定；反之不然，即不同的分布函数可能有相同的边 缘分布函数。 例 设有两个二元分布函数 F(x,y)和 G(x,y)，密度函数分别为 , 0 1,0 1, ( , ) 0, ; x y x y f x y + = 如果 其他 1 1 ( )( ), 0 1,0 1, ( , ) 2 2 0, ; x y x y g x y + + = 如果 其他 显然，F(x,y)和 G(x,y)不恒等。但它们的边缘密度函数分别为 1 0 1 ( ) ( , ) ( ) ,0 1; 2 X f x f x y dy x y dy x x + − = = + = + 1 0 1 1 1 ( ) ( , ) ( )( ) ,0 1; 2 2 2 X g x g x y dy x y dy x x + − = = + + = + 所以 ( ) ( ). X X f x g x = 同理可知 ( ) ( ). Y Y f y g y = 三 随机变量的独立性 定义 设 1 , , X X n 为 n 个随机变量，如果对任意实数 1 2 , , n x x x 成立 1 1 2 2 1 1 2 2 { , , , } { } { } { }, P X x X x X x P X x P X x P X x = n n n n 则称 1 , , X X n 是相互独立的。 如果 Xi 的分布函数为 ( ), F x i 它们的联合分布函数为 1 2 ( , , ) F x x xn ，则相互独立性 等价于对一切 1 2 , , n x x x ，成立 1 2 1 1 2 2 ( , , ) ( ) ( ) ( ). F x x x F x F x F x n n n = 在独立条件下，由随机变量的边缘分布可惟一确定其联合分布函数。 对离散型随机变量，其相互独立性等价于对任何一组可能取的值（ 1 2 , , n x x x ），成立 1 1 2 2 1 1 2 2 { , , , } { } { } { }. P X x X x X x P X x P X x P X x = = = = = = = n n n n 对连续随机变量 1 , , X X n 相互独立的充要条件是 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( ) ( ) ( ), n n n f x x x f x f x f x = 即联合分布密度函数等于边缘分布密度函数之积。 随机变量 1 , , X X n 两两独立的充要条件是
对任意的X和x都是独立的,即对任意的≠都有 F. r, x)=F(xF(x,), 其中F,(x,x)为(X,X)的分布函数。 显然,相互独立性可推得两两独立性,反之不然 四条件分布与条件数学期望 设已给二维随机变量XY)对任意给定C,如果P{X∈C}>0,可考虑有y∈照的函数 PIr sylYeC}=PYsy∈C P{X∈C} 显然,P{Y≤yX∈C}是一维分布函数我们称为条件X∈C下Y的条件分布函数 设(XY)为离散的,其联合概率分布为 P(X=x,Y=y)=P,lj=1,2, 则 P(Y=y, IX=x J=Po= Py. P P{Y≤yX=x;}=5y 设(XY)为连续随机变量,联合密度函数为f(xy,如果在定点x,X的边缘密度 f(x)= f(, y)dy>0, 定义 f(x, =)de PY≤y|X= f(x) 为给定X=x条件下,Y的条件分布函数,一般记为Fx(x|y)称y的函数 f(x,y 为给定X=x条件下,Y的条件密度函数 显然有
对任意的 Xi 和 X j 都是独立的，即对任意的 i j , 都有 , ( , ) ( ) ( ), F x x F x F x i j i j i i j j = 其中 , ( , ) F x x i j i j 为（ Xi ， X j ）的分布函数。 显然，相互独立性可推得两两独立性，反之不然。 四 条件分布与条件数学期望 设已给二维随机变量(X,Y),对任意给定 C,如果 P X C { } 0, 可考虑有 y 的函数 { , } { } , { } P Y y X C P Y y X C P X C = 显然, P Y y X C { } 是一维分布函数,我们称为条件 X C 下,Y 的条件分布函数。 设(X,Y)为离散的，其联合概率分布为 ( , ) , , 1,2, . P X x Y y p i j = = = = i j ij 则 . 1 { } , ij ij j i n i ij i p p P Y y X x p p = = = = = : 1 { } , j ij j y y i n ij i p P Y y X x p = = = 设(X,Y)为连续随机变量，联合密度函数为 f(x,y),如果在定点 x，X 的边缘密度 ( ) ( , ) 0, X f x f x y dy + − = 定义 ( , ) { } ( ) y X f x z dz P Y y X x f x − = = 为给定 X x = 条件下，Y 的条件分布函数，一般记为 ( ). F x y X Y 称 y 的函数 ( , ) ( ) ( ) X f x y f y x f x = 为给定 X x = 条件下，Y 的条件密度函数. 显然有
Fxp(xy)=f(=lads 同理可得 fr() 也可写成 f(x,y)=f(x)f(lx)=fr(y)f(xy) 由上式可得 fr(x)f(y/x) Lf(x)f(ylx)dr 这就是 Bayes公式的密度函数形式。 定义条件分布的数学期望称为条件数学期望,它可用条件分布计算得 ∑xP(X=xY=y E(XIy= xf(xy)dx, 条件数学期望E(Xy)与E(X)的区别:E(X)只有一个,而E(Xjy)有许多个,当Y取不 同值时,E(H|y)的值一般也是不同的,也就是说E(Xy)是y的函数,此函数刻画的是 X的条件数学期望随Y的取值y的变化规律。而E(X|Y)则为一随机变量取值为 E(Xy)的概率为P(Y=y) 例X表示中国成年人的身高,则E(X)表示中国成年人的平均身高,如果Y表示中国成 年人的足长,则E(Xy)表示足长为y的中国成年人的平均身高,我国公安部研究得 E(Xy)=6876y 条件数学期望是条件分布的数学期望故具有数学期望的一切性质,如 ()线性E∑qxy)=∑aE(X|y) (2)对任意函数g(X),有
( ) ( ) . y F x y f z x dz X Y − = 同理可得 ( , ) ( ) ( ) Y f x y f x y f y = . 也可写成 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ). X Y f x y f x f y x f y f x y = = 由上式可得 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) X X f x f y x f x y f x f y x dx + − = 这就是 Bayes 公式的密度函数形式。 定义 条件分布的数学期望称为条件数学期望，它可用条件分布计算得 ( ), ( | ) ( ) , i i i x P X x Y y E X y xf x y dx + − = = = 条件数学期望 E X y ( ) 与 E(X)的区别：E(X)只有一个，而 E X y ( ) 有许多个，当 Y 取不 同值时， E X y ( ) 的值一般也是不同的，也就是说 E X y ( ) 是 y 的函数，此函数刻画的是 X 的条件数学期望随 Y 的取值 y 的变化规律。而 E X Y ( | ) 则为一随机变量,取值为 E X y ( ) 的概率为 P Y y ( ). = 例 X 表示中国成年人的身高，则 E(X)表示中国成年人的平均身高，如果 Y 表示中国成 年人的足长，则 E X y ( ) 表示足长为 y 的中国成年人的平均身高，我国公安部研究得 E X y ( ) =6.876y. 条件数学期望是条件分布的数学期望,故具有数学期望的一切性质,如 (1)(线性性) 1 1 ( ) ( ); n n i i i i i i E a X y a E X y = = = (2)对任意函数 g(X),有
g(x)P(X=x|Y=y)离散情形 E(g(X)|y)= (x)f(xly)dx (3)E[E(X|1)]=E(X) 证明仅对连续场合证明(3),设(XY)的联合密度函数为f(xy),则 E(X)=xf(x,y)dxdy ∫9()(xly xf(x y)dx)fr (y)ay L E(Xlyfr()dy =ELE( YI 例设走进某百货商店的顾客是均值为35000的随机变量,顾客在商店消费的钱数是相互独 立、均值为52元的随机变量,并且任一顾客所消费的钱数与进入该商店的总人数也相互独 立,问该商店一天的平均营业额为多少? 解令N表示进入该商店的总人数,X表示第i个顾客的消费额,则该商店一天的营 业额为∑X。由于 E(∑X)=EE(∑X|N 其中, E(∑X|N=m)=∑E(X1|N=n)=∑E(X)=nE(X) 上式第二个等号成立是因为各X与N独立,从而条件期望就是无条件期望。所以 E(∑|N)=NE(X) 从而E∑X)=ENE(X)=E(N)E(X1) 现己知E(N)=35000E(X1)=52,所以该商店一天的平均营业额为 35000×52=182万元
1 ( ) ( | ), ( ( ) | ) n i i i g x P X x Y y E g X y = + − = = = 离散情形 g(x)f(x|y)dx, (3) E E X Y E X [ ( | )] ( ). = 证明 仅对连续场合证明(3),设(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y),则 E X xf x y dxdy ( ) ( , ) + + − − = ( ) ( | ) Y xf y f x y dxdy + + − − = { ( | ) } ( ) Y xf x y dx f y dy + + − − = ( | ) ( ) E X y f y dy Y + − = = E E X Y [ ( | )]. 例 设走进某百货商店的顾客是均值为 35000 的随机变量，顾客在商店消费的钱数是相互独 立、均值为 52 元的随机变量，并且任一顾客所消费的钱数与进入该商店的总人数也相互独 立，问该商店一天的平均营业额为多少？ 解 令 N 表示进入该商店的总人数， Xi 表示第 i 个顾客的消费额，则该商店一天的营 业额为 1 N i i X = 。由于 1 1 ( ) [ ( | )], N N i i i i E X E E X N = = = 其中， 1 1 1 1 ( | ) ( | ) ( ) ( ), N n n iii i i i E X N n E X N n E X nE X = = = = = = = = 上式第二个等号成立是因为各 Xi 与 N 独立，从而条件期望就是无条件期望。所以 1 1 ( | ) ( ), N i i E X N NE X = = 从而 1 1 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ). N i i E X E NE X E N E X = = = 现已知 1 E N E X ( ) 35000, ( ) 52, = = 所以该商店一天的平均营业额为 35000 52 182 = 万元
五多维随机变量的数字特征 设已给n维随机变量X=(X1X),如果EX(i=1,2,…,n)都存在,称n维向 量(EX1EXn)为X的数学期望,并记为 EX=(EXI., EX, 如果 可=E(X-EX)X-EX,j=1,2,…,n 存在,则称On为X与X,的协方差,而n阶矩阵 则称为X的协方差阵,其行列式记为(或det∑)注意an=D(X) 矩阵∑具有以下性质 1对称性:可=(对一切i,j=1,2,…n) 2非负定性:对任意实数y1…,V,有 ∑σyy≥0. 对其中任意两个随机变量X,和X,设可=DX>0,0D=DX>0称 cOV(XX) n√DxDx 为x,与X的相关系数,而n阶矩阵 2 称为X的相关系数阵。由柯西不等式得
五 多维随机变量的数字特征 设已给 n 维随机变量 1 ( , , ) , T X X X = n 如果 ( 1,2, , ) EX i n i = 都存在，称 n 维向 量 1 ( , , )T EX EX n 为 X 的数学期望，并记为 1 ( , , ) , T EX EX EX = n 如果 ( )( ), , 1,2, , . ij i i j j = − − = E X EX X EX i j n 存在，则称 ij 为 X X i j 与 的协方差，而 n 阶矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n n n nn = 则称为 X 的协方差阵，其行列式记为 ( det ). 或 注意 ( ). ii i = D X 矩阵 具有以下性质： 1 对称性： ij ji = （对一切 i j n , 1,2, , = ）； 2 非负定性：对任意实数 1 , , n y y ，有 1 0. n ij i j i y y = 对其中任意两个随机变量 Xi 和 X j ，设 0, 0, ii i jj j = = DX DX 称 cov( , ) ij i j ij ii jj i j X X r DX DX = = 为 Xi 与 X j 的相关系数，而 n 阶矩阵 12 1 21 2 1 2 1 1 1 n n n n r r r r R r r = 称为 X 的相关系数阵。由柯西不等式得
相关系数的性质有: lsl(j=12,…m 2如果X,与x独立,则=0,即X,与X,不相关。 3|=1的充要条件是:x与X,以概率1线性相关,即存在常数a(≠0)b使得 X=aX +b 3对于服从二维正态分布的随机变量X12X2,它们的独立性与不相关性等价 1.2随机变量的特征函数及其性质 定义 定义如果ⅹ和Y是实值随机变量,则Z=X+iY为复随机变量。定义复随机 变量Z的数学期望为 EZ=EX+iEY 定义如果随机变量X的分布函数为F(x,则称 8 (t)=Ee"lr= edF(x) 为X的特征函数。 特征函数是实变量的一个复值函数,由于21=1,所以特征函数对一切t都有定 义 显然,特征函数只与分布函数有关,因此也称某一分布函数的特征函数 对离散随机变量,若X的概率分布为P(X=x)=P(=1,2,…),则其特征函数 为 g()=∑pe 对连续随机变量,若Ⅹ的密度函数为f(x),则其特征函数为 g()=」ef(x)h 此时,特征函数即为密度函数的 Fourier变换。 例。二项分布B(n,p)的特征函数为(pe"+q) Poisson分布P(4)的特征函数为ec-) 正态分布N(,a2)的特征函数
. ij ii jj 相关系数的性质有： 1 1( , 1,2, , ); ij r i j n = 2 如果 Xi 与 X j 独立，则 0, ij r = 即 Xi 与 X j 不相关。 3 1 ij r = 的充要条件是： Xi 与 X j 以概率 1 线性相关，即存在常数 a b ( 0), , 使得 ; X aX b i j = + 3 对于服从二维正态分布的随机变量 1 2 X X, , 它们的独立性与不相关性等价。 1．2 随机变量的特征函数及其性质 一 定义 定义 如果 X 和 Y 是实值随机变量，则 Z X iY = + 为复随机变量。定义复随机 变量 Z 的数学期望为 EZ EX iEY = + . 定义 如果随机变量 X 的分布函数为 F(x),则称 ( ) ( ) itX itX X g t Ee e dF x + − = = 为 X 的特征函数。 特征函数是实变量的一个复值函数，由于 1, itx e = 所以特征函数对一切 t 都有定 义。 显然，特征函数只与分布函数有关，因此也称某一分布函数的特征函数。 对离散随机变量，若 X 的概率分布为 ( ) ( 1,2, ), P X x p i = = = i i 则其特征函数 为 1 ( ) .i itx i i g t p e = = 对连续随机变量，若 X 的密度函数为 f(x),则其特征函数为 ( ) ( ) . itx g t e f x dx + − = 此时，特征函数即为密度函数的 Fourier 变换。 例。二项分布 B(n,p)的特征函数为 ( ) . it n pe q + Poisson 分布 P( ) 的特征函数为 ( 1) . it e e − 正态分布 2 N( , ) 的特征函数为 2 2 2 . t i t e −
标准正态分布N(O,1)的特征函数为e2 特征函数g(t)的性质 g(0)=1 性质1g(O)≤g(0) g(-1)=g(1) 性质2g(t)在(-∞,+∞)上一致连续 性质3对任意的正整数n及任意实数1,12…,n及复数1,2,…,n,成立 ∑∑8(4-1)4≥0 性质4相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积。 性质5设随机变量Ⅹ有n阶矩存在,则它的特征函数可微分n次,且当k≤n时: 6(0)=E(X) 性质6设Y=ax+b,这里a.b为常数,则 gr (t=e g(at) 定理(逆转公式)设分布函数F(x)的特征函数为g(t),x1,x2是F(x)的连续点则 F(x,)-FX=lim I c+re-im, -e -it2 - g(t)dt T→+2丌 定理(惟一性定理)分布函数由其特征函数惟一决定 定理如果「g()<∞,则相应的分布函数F(x)的导数存在并连续而且 F(x) g(t)di
标准正态分布 N(0,1) 的特征函数为 2 2 . t e − 二 特征函数 g(t)的性质 性质 1 (0) 1, ( ) (0), ( ) ( ). g g t g g t g t = − = 性质 2 g(t)在 ( , ) − + 上一致连续。 性质 3 对任意的正整数 n 及任意实数 1 2 , , , n t t t 及复数 1 2 , , , , n 成立 1 1 ( ) 0. n n k j k j k j g t t = = − 性质 4 相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积。 性质 5 设随机变量 X 有 n 阶矩存在，则它的特征函数可微分 n 次，且当 k n 时： ( )(0) ( ). k k k g i E X = 性质 6 设 Y=aX+b,这里 a,b 为常数，则 ( ) ( ). ibt Y X g t e g at = 定理 (逆转公式) 设分布函数 F(x)的特征函数为 g(t), 1 2 x x, 是 F(x)的连续点,则 1 2 2 1 1 ( ) ( ) lim ( ) . 2 itx itx T T T e e F x F x g t dt it − − + →+ − − − = 定理 (惟一性定理)分布函数由其特征函数惟一决定. 定理 如果 g t dt ( ) , + − 则相应的分布函数 F(x)的导数存在并连续,而且 1 ( ) ( ) . 2 itx F x e g t dt + − − =