第四节函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 巴三、函数极限的性质 四、小结思考题
自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数Sx当x→∞时的变化趋势. 075 上页
. sin 观察函数 当 x → 时的变化趋势 x x 播放 一、自变量趋向无穷大时函数的极限
问题:函数y=f(x)在x→∞的过程中,对应 函数值∫(x)无限趋近于确定值A. 通过上面演示实验的观察: 王当x无限增大时,(x=x无限接近于0 工工工 问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近” 王f(x)-4≤表示/(x)-4任意小 x>X表示x→>∞的过程 上页
问题:函数 y = f ( x)在x → 的过程中, 对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; x X 表示x → 的过程. 0. sin 当 无限增大时, ( ) 无限接近于 x x x f x = 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近
1、定义 定义1如果对于任意给定的正数e(不论它多么小 总存在着正数X,使得对于适合不等式对>X的一切 x所对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)-44(当x→>a) x→ E-X"定义 f(x)=A分 x→0 vE>0,X>0,使当x>X时,恒有f(x)-A <8。 圆[t 上页
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式x X 的一切 x,所对应的函数值 f (x)都满足不等式 f ( x) − A , 那末常数A就叫函数 f (x)当x → 时的极限,记作 lim ( ) = ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 当 " − X"定义 0,X 0,使当x X时,恒有 f (x) − A . = → f x A x lim ( ) 1、定义：
2、另两种情形: 1°.x→>+0情形:limf(x)=A x→+Q vE>0,丑X>0,使当x>X时,恒有f(x)-A0,X>0,使当x<一X时,恒有f(x)-A<6 牛定理:lmf(x)=Almf(x)=A且Imf(x)=A 上页
1 . : 0 x → + 情形 0, X 0, 使当x X时, 恒有 f (x) − A . 2 . : 0 x → − 情形 f x A x = →− lim ( ) 0,X 0,使当x −X时,恒有 f (x) − A . f x A x = →+ lim ( ) 2、另两种情形: 定理:lim x→ f (x) = A lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+ 且 →−
3、几何解释 sIn +8X 当x时,函数y=/(x/图形完全落在以 直线y=A为中心线,宽为2E的带形区域内 上页
x x y sin = 3、几何解释: − − X X , 2 . , ( ) 直线 为中心线 宽为 的带形区域内 当 或 时 函数 图形完全落在以 = − = y A x X x X y f x A
例1证明lin SIn 0 sInx x→0 证 sinx SInx 0 0,取!、l ,则当x>X时恒有 sInd -0<8,故lim sInd =0 x x→0x c定义:如果lmf(x)=c则直线y=c是函数y=f(x) 的图形的水平渐近线 上页
x x y sin 例 1 0. = sin lim = → x x x 证明 证 x x x x sin 0 sin − = x1 X1 = , 0 , , 1 取 X = 则当 x X时恒有 0 , sin − x x 0. sin lim = → x x x 故. : lim ( ) , ( ) 的图形的水平渐近线 定义 如果 f x c 则直线 y c是函数y f x x = = = →
二、自变量趋向有限值时函数的极限 问题:函数y=f(x)在x→x0的过程中对应 函数值∫(x)无限趋近于确定值A 庄f(x)-4x的过程 0 -δ xo+s 点x的去心8邻域,8体现x接近x程度 上页
二、自变量趋向有限值时函数的极限 问 题:函 数 y = f ( x)在 x → x0的过程中,对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; 0 . x − x0 表示x → x0的过程 x0 − x0 + x x0 , 点x0的去心邻域 . 体现x接近x0程度
王1、定义: 定义2如果对于任意给定的正数(不论它多 么小),总存在正数δ,使得对于适合不等式 00,8>0,使当0<x-x0<8时, 恒有∫(x)-A<8 上页
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多 么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式 − 0 x x0 的一切x ,对应的函数值f (x) 都 满足不等式 f ( x) − A ,那末常数A 就叫函数 f (x)当x → x0时的极限,记作 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 " − "定义 ( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A x x 恒有 使当 时 1、定义：
注意:1函数极限与f(x)在点x是否有定义无关 28与任意给定的正数有关 2、几何解释: c当x在x的去心8邻 y=f(x) A+8 域时,函数y=f(x) A 工工工 图形完全落在以直4-8/1 线y=A为中心线, 宽为e带形区域内.0x=0xx+0x 显然找到一个δ后,δ越小越好. 上页
2、几何解释: y = f (x) A− A+ A x0 − x0 x0 + x y 2 . o , , ( ) 0 宽为 的带形区域内 线 为中心线 图形完全落在以直 域时 函数 当 在 的去心 邻 = = y A y f x x x 注意： 1. ( ) ; 函数极限与f x 在点x0是否有定义无关 2.与任意给定的正数有关. 显然,找到一个后,越小越好