第三节数列的极限 四一、概念的引入 四二、数列的定义 数列的极限 巴四、数列极限的性质 四五、小结思考题
、概念的引入 1、割圆术: “割之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 工工工 割,则与圆周合 体而无所失矣” 刘徽 上页
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 播放 一、概念的引入
正六边形的面积A1 正十二边形的面积A2 R 正6×2-形的面积A 1942913 々9· →S 上页
R 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 正 6 2 n−1 形的面积 An A1 , A2 , A3 , , An , S
2、截丈问题: c“一尺之棰,日截其半,万世不竭” 第一天截下的杖长为X1= 2 第二天截下的杖长总和为x=2 十 22 第n天截下的杖长总和为X,=+-+…+ n22 2 Ⅹ=1一 2 上页
2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ; 2 1 第一天截下的杖长为 X1 = ; 2 1 2 1 2 2 第二天截下的杖长总和为 X = + ; 2 1 2 1 2 1 Xn 2 n 第n天截下的杖长总和为 = + ++ Xn n 2 1 = 1 − 1
二、数列的定义 定义:按自然数2,3,…编号依次排列的一列数 1,x2,,Xn 称为无穷数列简称数列其中的每个数称为数 王列的称为通项已股狐数列0记为 例如2,4,8,…,2 {2} 工工 1111 248′2 上页
二、数列的定义 定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数 x1 , x2 ,, xn , (1) 称 为无穷数列,简 称数 列.其中的每个数称为数 列的项, n x 称为通项(一般项).数列(1)记为{ }n x . 例如 2,4,8, ,2 , ; n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1 n {2 } n } 2 1 { n
1,-1,1,…,(-1),…;{(-1)”} 14n+(-1) n-1 n+(-1) n-1 23 99 n n √3,3+、3,,、3+3+√…+3, 注意:1数列对应着数轴上一个点列可看作 动点在数轴上依次取x1,x2,…,xn xi xa x 2数列是整标函数xn=∫(m) 上页
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 , , , , . x1 x2 xn 1 x3 x x2 4 x xn 2.数列是整标函数 x f (n). n = 1, 1,1, ,( 1) , ; − − n+1 {( 1) } −1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1 n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + − 3, 3 + 3, , 3 + 3 + + 3 ,
生三、数列的极限 庄观察数列+("当n→时的变化趋势 n1 1.75 1 0.75 播放 上页
} . ( 1) {1 1 观察数列 当 → 时的变化趋势 − + − n n n 播放 三、数列的极限
问题:当n无限增大时,x是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 王通过上面演示实验的观察 n 当n无限增大时,x,=1+ 无限接近于1. n 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它 工工 xn-1=(-1)1 nn 上页
问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? n n x 1. ( 1) , 1 1 当 无限增大时 无限接近于 n n x n n − − = + 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. xn − 1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = − 通过上面演示实验的观察:
王给定m:m要0有m 00 给定 1 只要n>1000时,有xn-11000时,有xn-10,只要n>N(=)时,有xn-1<6成立 8 上页
, 100 1 给定 , 100 1 1 n 由 只要 n 100时, , 100 1 有 xn − 1 , 1000 1 给定 只要 n 1000时, , 10000 1 , 有 xn − 1 10000 1 给定 只要 n 10000时, , 1000 1 有 xn − 1 给定 0, ]) , 1 只要 ( [ 时 n N = 有 − 1 成立. xn
定义如果对于任意给定的正数(不论它多么 王小,总存在正数N,使得对于n>N时的一协n, 不等式xn-a<8都成立,那末就称常数是数列 xn的极限,或者称数列xn收敛,记为 imxn=a,或xn→a(n→∞ 如果数列没有极限,就说数列是发散的 注意:1不等式xn-a<E刻划了xn与a的无限接近; 2N与任意给定的正数E有关 上页
定 义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切xn , 不等式 x − a n 都成立,那末就称常数a 是数列 xn的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为 lim x a, n n = → 或x → a (n → ). n 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式x a 刻划了x 与a的无限接近; n n − 2.N与任意给定的正数有关