第七节极限存在准则 两个重要极限 极限存在准则 两个重要极限 三、小结思考题
、极限存在准则 1夹逼准则 准则|如果数列xn,yn及乙n满足下列条件 (1)yn≤xn≤zn(n=1,2,3…) (2)lim y =a, limAn =a, n→0 n→0 那末数列xn的极限存在,且imxn=a n→0 中证yn→a,zn→a, VE>0,N1>0,N2>0,使得 上页
一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得
当n>N时恒有yn-aN2时恒有kn-aN时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+E 即xn-a<E成立,∴ lim x=a. n→0 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 王页下
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n N时, 恒有 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则|′如果当x∈U2(x)(或x>M)时有 ()g(x)≤f(x)≤l(x), 生(2)mg()=4,m从x)=4 (x→>∞) 那末lmf(x)存在,且等于A. 0 (x→>∞) 准则和准则称为夹逼准则 注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出yn与 n2 并且yn与zn的极限是容易求的 上页
准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A. 注意: . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 和准则 '称为夹逼准则
1 中例1求im( ∴十 n→∞√n2+1√n2+2 2) n+n n n 解 < 十∴ < n2+n√n2+1 √n2+n√n2+1 1 又lm =i n→√n2+nx n lim =lim =1,由夹逼定理得 1+ n nn2+1√n2+2 m 十 + )=1 n+n 王页下
例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n
2单调有界准则 如果数列x满足条件 x1≤x2…≤xn≤xn+1≤…,单调增加 单调数列 x1≥x2…≥xn≥xn1≥…,单调减少 工工工 准则|单调有界数列必有极限 几何解释 x ,xr. M n°n+1 上页
x 1 x x2 x3 xn xn+1 2.单调有界准则 如果数列x n满足条件 , x1 x2 xn xn+1 单调增加 , x1 x2 xn xn+1 单调减少 单调数列 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M
例2证明数列xn=3+√3+…+3(n重根 ±式)的极限存在 证显然xn>xn,∴{xn}是单调递增的; 又∵x1=3<3,假定x4<3,xk+1=3+xk<3+3<3 牛:}是有界的;回mx存在 工工工 .x1=3+x,xn+1=3+x, lim xd+=lim(3+xn), n→0 A2=3+A,解得A1不1-小3 1+、13 2(舍去) 1+√13 ∴imxn n→0 2 上页
例 2) . 3 3 3 ( 式 的极限存在 证明数列 xn = + + + n重根 证 , 显然 xn+1 xn 是单调递增的 ; xn 3 3, 又 x1 = 3, 假定 xk xk+1 = 3 + xk 3 + 3 3, 是有界的; xn lim 存在. n n x → 3 , xn+1 = + xn 3 , 2 xn+1 = + xn lim lim(3 ), 2 1 n n n n x = + x → + → 3 , 2 A = + A 2 1 13 , 2 1 13 − = + 解得 A = A (舍去 ) . 2 1 13 lim + = → n n x
庄二、两个重要极限 B sIn um 0D)4 x→0x 设单位圆O,圆心角∠AOB=x,(0<x< 作单位圆的切线,得△ACO 扇形O4B的圆心角为x,△OAB的高为BD, 于是有sinx=BD,x=弧AB,tanx=AC, 上页
A C 二、两个重要极限 (1) 1 sin lim 0 = → x x x ) 2 , , (0 设单位圆 O 圆心角AOB = x x 于是有sin x = BD, x = 弧AB, tan x = AC, x o B D 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x, OAB的高为BD
sInd ∴sinx02 →0 lim cos x=1,又∴lim1=1,∴lim sIn =1 x→)0 x→0 y→ 0X 上页
sin x x tan x, 1, sin cos x x 即 x 0 . 2 上式对于 也成立 − x , 2 当 0 时 x 0 cos x − 1 = 1 − cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x , 2 2 x = 0, 2 lim 2 0 = → x x lim(1 cos ) 0, 0 − = → x x limcos 1, 0 = → x x lim1 1, 0 = x→ 又 1. sin lim 0 = → x x x
例3求lm 1-cos x x→0 2 2 sin SIn 解原式=im,2m2 2x->0 2 sIn一 m(2)2=1.12 2x→>0x 2 2 2 上页
例 3 . 1 cos lim 2 0 x x x − → 求 解 22 0 2 2sin lim x x x → 原式 = 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 21 x x x → = 2 0 ) 2 2 sin lim ( 21 x x x → = 2 1 21 = . 21 =