第七节曲线的凹凸与拐点 曲线凹凸的定义 曲线凹凸的判定 曲线的拐点及其求法 巴四、小结思考题
王=、曲线凹凸的定义 C B 问题:如何研究曲线的弯曲方向 x y=f(r) y=f(x) 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 上页
一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C
定义设f(x)在区间上连续如果对I上任意两 上点x,x,恒有互+3)< f(x1)+f(x2) 2),那末称 2 2 f(x)在I上的图形是(向上)的(或凹弧); 如果恒有/(+x1/(5)+(x)那末称/ 2 2 在Ⅰ上的图形是(向上)凸的(或凸弧) 如果(x)在a2b内连续且在(a,b内的图形是凹 (或凸的那末称f(x)在a,b内的图形是叫或凸的; 上页
定义 在 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）． 如果恒有 那末称 在 上的图形是（向上）凹的（或凹弧） 点 恒 有 那末称 设 在区间 上连续 如果对 上任意两 I f x x x f x f x f f x I x x f x f x x x f f x I I , ( ) 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + + + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或 凸的 那末称 在 内的图形是凹或 凸的 如 果 在 内连续 且 在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
王二、曲线凹凸的判定 y=fxv B y=f(x)B :::::: 0a b x b x ∫(x)递增y>0 f(x)递减y"0则(在创上的图形是凹的 (2)f"(x)<0,则f(x)在a,b上的图形是凸的 上页 圆
二、曲线凹凸的判定 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 一阶和二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b
庄例判断曲线y=x的四凸性 解∵y'=3x2,y"=6x, 当xQ时,y">0,∴曲线在[0,+∞)为凹的; 注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点 上页
例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 解 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时， y 0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点
生三、曲线的拐点及其求法 1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2、拐点的求法 定理2如果f(x)在(x0-8,x+)内存在二阶导 数则点(x,f(x)是拐点的必要条件是f(x)=0 证:∫(x)二阶可导,∫(x)存在且连续, 上页
三、曲线的拐点及其求法 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导 数,则点( , ( )) 0 0 x f x 是拐点的必要条件是 ( 0 ) 0 " f x = . 1、定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法 证 f (x) 二阶可导, f (x) 存在且连续
王又:(x,(x)是拐点 黑则r(x)=r(x)在x两边变号, f(x)在x取得极值由可导函数取得极值的条件, :"(x)=0. 方法1:设函数f(x)在x的邻域内二阶可导, 且f"(x0)=0, 人s0)玩肉近旁(x)变号,点(x,(x)即为拐点 (2)x两近旁f"(x)不变号,点(x,f(x0)不是拐点 王页下
( ) [ ( )] , 则 f x = f x 在x0两边变号 ( , ( ) ) , 又 x0 f x0 是拐点 ( ) , f x 在x0取得极值由可导函数取得极值的条件, f (x) = 0. 方法1: ( ) 0, ( ) , 0 0 f x = f x x 且 设函数 在 的邻域内二阶可导 (1) ( ) , ( , ( )) ; x0两近旁f x 变号 点 x0 f x0 即为拐点 (2) ( ) , ( , ( )) . x0两近旁f x 不变号 点 x0 f x0 不是拐点
例2求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及 凹、凸的区间 解D:(-∞,+0) y=12x3-12x2,y"=36x(x 令y”=0,得x1=0,x 3 x(0)0(02323V23 工工工 f"(x)+ 0 一 0 十 |f(x)凹的 拐点 拐点 凸的 211 凹的 上页
例2 . 3 4 1 4 3 凹、凸的区间 求曲线 y = x − x + 的拐点及 解 D :(−,+) 12 12 , 3 2 y = x − x ). 3 2 y = 36x(x − 令y = 0, . 3 2 0, 得 x1 = x2 = x (−,0) , ) 3 2 ) ( + 3 2 0 (0, 3 2 f (x) f (x) + 0 − 0 + 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 (0,1) ) 27 11 , 3 2(
0.5 1 0.5 上凹凸区间为(一a0,223,+∞) 上页
, ). 3 2 ], [ 3 2 凹凸区间为(−,0], [0, +
王方法2:设函数f()在x的邻域内三阶可导且 王f(x)=0而f(x)≠0,那末(x,(x,)是曲 线y=f(x)的拐点 例3求曲线p=sinx+cosx(0,2π内的拐点 Rf y'=cosx-sinx, y"=-sinx-cosx cossing 令p=0,得x=4,x2=4 牛rm4)=2≠0,"(4)=-2≠ 上页
方法2: ( ) . ( ) 0, ( ) 0, ( , ( )) ( ) , 0 0 0 0 0 线 的拐点 而 那 末 是 曲 设函数 在 的邻域内三阶可导 且 y f x f x f x x f x f x x = = 例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2]内)的拐点. 解 y = cos x − sin x , y = −sin x − cos x , y = −cos x + sin x . 令 y = 0, . 4 7 , 4 3 1 2 = 得 x = x ) 2 4 3 ( = f 0, ) 2 4 7 ( = − f 0