第二节洛必达法则 0 型及一型未定式解法:洛必达法则 0 四二、0·∞,∞-∞,09,1°,∞型未定式解法 四三、小结思考题
0 型及-型未定式解法:洛必达法则 0 定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数 41(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末 午极限im(可能存在、也可能不存在,通 工工工 (x-0) 常把这种极限称为或型未定式 tanx 0 Insin ax 例如 m lim 9x->0X x→0 In sin bx 上页
一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 常把这种极限称为 或 型未定式 极限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数 → → → → F x f x f x F x x a x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( )
定理设 (1)当x→d时,函数f(x)及F(x)都趋于零; (2)在a点的某去心邻域内,(x)及F'(x)都存在 且F'(x)≠0; 6)mr(存在(或为无穷大 x→aF(x) 那未hm/( f(x) =lim x→aF(x)xaF'(x 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
. ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) 0; (2) , ( ) ( ) (1) , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x a f x F x x a f x F x x a x a x a = → → → → 那末 存在 或为无穷大 且 在 点的某去心邻域内 及 都存在 当 时 函数 及 都趋于零 定理 设 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
证定义辅助函数 f1(x)= 0.x=aF()=0”x=a 在U(a,)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上, f(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(x) f(x)-f(a) f(s) F(x) F(x)-F(a F() 在x与a之间) 当x→l时,→a,mf(x) =A,∴lim f(5) x→aF'(x) 5→aF(2) ∴lims f(x) A x→aF(x)5F"() 上页
证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → →
如果(仍属型,且∫(x),F(x)满足 F(x)0 定理的条件,可以继续使用洛必达法则,即 limf(x lim f"(x) =lim xF(x)x→aF"(x)x→F"(x) 当x→∞时,该法则仍然成立 f(r) =im F(x) x-yoo F(x) 当x→a,x→∞时的未定式一,也有相应的洛必达法则 王页下
当x → 时,该法则仍然成立. 定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即 如果 仍属 型，且 ( ), ( ) 满足 0 0 ( ) ( ) f x F x F x f x . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim = = = → → → F x f x F x f x F x f x x a x a x a . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x x = → → 当 , 时的未定式 ,也有相应的洛必达法则. x → a x →
an 0 例1求mm 少 0 解原式=lim (tan x) =lim sec x =1 x→0(x x→0 x3-3x+2 例2求lim_3 0 x→1y x2-x+1 解原式=lim 3x2-3 6x3 =im x→13x2-2x-1x16x-22 上页
例 1 解 . tan lim0 x x x → 求 ( ) (tan ) lim0 = → x x x 原式 1 sec lim 2 0 x x → = = 1 . 例 2 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim1 − = → x x x . 23 = ) 00 ( ) 00 (
arctan 例3求lm 2 x→)+ 0 2 2 解原式=li 1+又≡lm 1 x→+0 x→)+o1+x 例4求lm In sin ax x-0 Isin bx 牛解原式=m cos· sin bx =li cos bx x-0 bcos bx. sin ax x-0 cos ax 上页
例 3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+ 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 原式 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1 . 例 4 解 . lnsin lnsin lim0 bx ax x → 求 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim0 = → 原式 = 1 . ) 00 (( ) ax bx x cos cos lim→0 =
例5求lm tanx x→tan3x ● 2 王解原式=lm sec cos- x m n 3sec 3x 3 T cOS x =2 .T-2 cos x.r li in 6x 1.-6cos 3xsin 3x T n sin 2x 2 2 cos 6x m 3. x-T 2coS 2x 上页
例 5 解 . tan 3 tan lim2 xx x → 求 x x x 3sec 3 sec lim 22 2 → 原式 = xx x 22 2 cos cos 3 lim 31 → = x x x x x 2cos sin 6cos 3 sin 3 lim 31 2 −− = → xx x sin 2 sin 6 lim2 → = xx x 2cos 2 6cos 6 lim2 → = = 3 . ( )
注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但与其它求极限方法结合使用,效果更好 例6求lm tanx=x x→>0 d tan secx-1 解原式=lm tanr一x x→>0 x→>03x 2 2sec xtanx 1 tanx =im =lim = x→0 6x 3 x→0 3 上页
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 . tan tan lim 2 0 x x x x x − → 求 3 0 tan lim x x x x − = → 原式 x x x x 6 2sec tan lim 2 →0 = 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → x x x tan lim 3 1 →0 = . 3 1 =
生二0·∞∞-,0r,型未定式解法 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型(0、(∞) 王1.0.∞型 庄步骤:0.0=1,,或0,=0.1 0 王例求lmx2e.(0.∞ 生解原式=2一 上页
二、0 , − ,0 0 ,1 , 0型未定式解法 例7 解 lim . 2 x x x e − →+ 求 ( 0 ) x e x x 2 lim →+ 原式 = 2 lim x x e →+ = = +. 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 0 0 ( ( ) 1. 0 型 步骤: , 1 0 . 0 1 或 0 0