第三节泰勒( Taylor)公式 问题的提出 P和Rn的确定 泰勒中值定理 四、简单应用 五、小结思考题
王=、问题的提出 1.设f(x)在x处连续,则有 f(x)f(xo Lf(x)=f(xo+a] 牛2设f(x)在处可导则有 f(x)af(o)+f(xo(x-xo 1(x)=f(x)+f(x)(x-x)+0(x-xn) 牛例如当x很小时,c≈1+x,m01+x)=x (如下图) 上页 圆
一、问题的提出 1.设 f (x)在 0 x 处连续,则有 2.设 f (x)在 0 x 处可导,则有 例如, 当 x 很小时, e x x 1 + , ln(1 + x) x [ f (x) = f (x0 ) + ] [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f − + − （如下图） ( ) ( ) 0 f x f x ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x f x + f −
= 十 十 上
x y = e y = 1+ x o x y = e o y = x y = ln(1 + x)
不足:1、精确度不高;2、误差不能估计. 问题:寻找函数P(x),使得∫(x)≈P(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计 设函数(在含有8的开区4)内具有直到 (n+1)阶导数,P(x)为多项式函数 Pn(x)=a+a1(x-x)+a2(x-x0)+…+an(x-x0) 王误差R(x)=f(x)-P() 上页
不足: 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 设函数 f ( x)在含有x0的开区间(a,b) 内具有直到 (n + 1)阶导数,P(x)为多项式函数 n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x )0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n
庄三、P和R的确定 分析: 1若在x0点相交 J 近 似P(x1)=f(xn) y=f(r) 程 度‖2.若有相同的切线 来 P(xo)=f(ro) 好 3若弯曲方向相同 Px)=f"(x)0 x 0 上页
二、Pn和Rn的确定 x0 y = f (x) o x y 分析: ( ) ( ) 0 x0 P x f n = ( ) ( ) 0 x0 P x f n = ( ) ( ) 0 x0 P x f n = 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在 x0 点相交
士 假设P (x0)=f(x0)k=1,,n n an=f(x,1a1=f(x),2a1=f"(x,) ,nun=∫"(x) 得ak= f(x0)(k=0,,2,…,n) 代入Pn(x)中得 王(x)=/(x)+r(xx-x)+ x-xo+ 2! f"(x0) (x-x0) n! 上页
假设 P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = = ( ), 0 x0 a = f 代入P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + = + − + 得 ( ) ( 0,1,2, , ) ! 1 0 ( ) f x k n k a k k = = 1 ( ), 1 0 a = f x 2! ( ) 2 x0 a = f , ! ( )0 ( ) n a f x n n =
生三、泰勒 Taylor)中值定理 泰勒( ay lor)中值定理如果函数f(x)在含有x0 的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则 当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个 n次多项式与一个余项Rn(x)之和 f(x)=f(o+f(o(x-x+30(x-xo2 工工工 f"(x0) … 0(x-x0)+R,(x) (n+1) 其中Rn(x)= (2 (x-x0)5在x0与之间) n
三、泰勒(Taylor)中值定理 泰 勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有x0 的某个开区间(a,b) 内具有直到(n + 1) 阶的导数,则 当x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的一个 n次多项式与一个余项R ( x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在x0与x 之间)
c证明:由假设,R,(x)在(ab)内具有直到(m+1阶 导数,且 Rn(x0)=R(x0)=Rn(x0)=…=R(x0)=0 两函数R(x)及(x-x)在以x及x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 工工工 R,(x) R (x一/)≤(x=Rn(x) (x-x0) n+1 0 Rn(51) (n+1)(51-x0 ,)(5在c与x之间) 上页
证明: 由假设,R (x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1)阶 导数,且 两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在 以 0 x 及 x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n + − = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n n
两函数Rn(x)及(n+1)(x-x0)”在以x及5为端点 的区间上满足柯西中值定理的条件,得 Rn(51) Rn(51)-Rn(x0) (n+1(51-x)(n+1)(51-x)-0 (2) n(n+1)(2-x0) (2在x与之间) 如此下去,经过(n+1次后,得 R, (x) R (n+1 (x-x) n+1 (n+1) (在x与5n之间,也在x1与x之间) 王页下
如此下去,经过(n + 1)次后,得 两函数R (x) n 及 n (n 1)(x x ) + − 0 在以 x0及 1为端点 的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − n n n n n n x R R x n x R ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n R x x R x n n n n (在x0与 n之 间,也在 0 x 与x 之间) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 在 与 之间 x n n x R n n − + − =
P2+(x)=0,∴.Rn+)(x)=f+)(x) 则由上式得 R (x)= ∫f+"() (n+1 (x-x)y+1(在x与x之间) Pn(x)=∑ f(x0) -r k=0 ! 工工工 称为∫(x)按(x-xa)的幂展开的n次近似多项式 f(x)=∑ f(x0) k=0(x-x0)+Bn(x) 称为∫(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式 王页下
= = − n k k k n x x k f x P x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 次近似多项式 = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 阶泰勒公式 ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n + + − + = 则由上式得( ) 0, ( 1) = + P x n n ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + =