第一节中值定理 巴一、罗尔定理 拉格朗日中值定理 巴三、柯西中值定理 四、小结思考题
、罗尔(Role)定理 罗尔(Ro|)定理如果函数f(x在闭区间|abL 上连续在开区间a,b)内可导且在区间端点的函数 王值相等,即f(a)=/(,那末在ab)内至少有一点 5a<5<b)使得函数f(x)在该点的导数等于零, 即f(2)=0 牛例如,f()=x2-2x=3=(x-3Xx+1 在_-1,3上连续,在(-1,3)上可导,且f(-1)=f(3)=0, f∫'(x)=2(x-1),取ξ=1,(1∈(-1,3)∫'(2)=0 上页
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0
几何解释: C f(x) 王在曲线弧4B上至少有一 王点C在该点处的切线是 水平的 ξ,bx 物理解释: 工工工 变速直线运动在 A折返点处瞬时速 度等于零 点击图片任意处播放暂停 上页
点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零. 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
证∵∫(x)在[a,b连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则f(x)=M. 由此得∫(x)=0.ξ∈(n,b,都有f()=0 (2)若M ≠m ∵∫(an)=∫(b), ∴最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a)2 则在(ab)内至少存在一点5使f(4)=M. ∫(ξ+△x)≤∫(ξ),∴∫(ξ+△x)-f(2)≤0, 王页下
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
若△x>0,则有f(5+△x)-f(5)≤0 △x 若A<0,则有f(号+△x)-f(8z0; △y ∫()=lim ∫(ξ+△x)-f(ξ) ≥0 △ f"(ξ)=im ∫(号+△x)-∫(2 ≤0;∵f′(2)存在, △v→)+0 △v ∫(ξ)=∫(5).∴只有∫(2)=0. 上页
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0
注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 上结论可能不成立 例如,y=x,x∈[-2,2]; 在[-2,2上除∫(0)不存在外满足罗尔定理 的一切条件,但在区间[2,2内找不到一点能 使∫(x)=0 1-x,x∈(0,1 又例如,0 y=x,x∈0,1 上页
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 的一切条件 在 − 上除 f 不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [-2 2] 使 f x = 但在区间 ， 内找不到一点能 ; 0, 0 1 , (0,1] = − = x x x y y = x, x[0,1]. 又例如
例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根. 证设∫(x)=x3-5x+,则f(x)在0,连续, 且∫(0)=1,f(1)=-3. 由介值定理 彐xo∈(0,1,使∫(x)=0.即为方程的小于1的正实根 设另有x1∈(0,12x1≠x,使f(x)=0. f(x)在x,x1之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个5(在xn2x1之间,使得∫()=0 但∫(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1)矛盾,为唯一实根 圆[回 上页
例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根
生三、拉格朗日 Lagrange)中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数f(x)在 (2 闭区间a,b上连续,在开区间a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(a<ξ<b),使等式 f(b)-f(a)=f(2)(b-a)成立 王注意与罗尔定理相比条件咕法掉了(0() 结论亦可写娥f(b)-f(a) =f(ξ) b-a 上页
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. (1) (2) 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成
几何解释: y=∫(x) B "在曲线弧AB上至少有 王一点C在该点处的切 D 线平行于弦AB. 1 证分析:条件中与罗尔定理相差f(a)=f(b) 工工工 弦AB方程为y=f(a)+ f(b)-∫(a -a b-a c曲线∫(x)减去弦AB 所得曲线n,b两端点的函数值相等 上页
o a 1 x 2 b x y y = f (x) A B C N D M 几何解释: . , AB C AB 线平行于弦 一点 在该点处的切 在曲线弧 上至少有 证 分析: 条件中与罗尔定理相差f (a) = f (b). 弦AB方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等
作辅助函数 F(x)=∫(x)-[f(a)+ f(b-f(a)(x-a)l b-a F(x)满足罗尔定理的条件 则在(a,b至少存在一点,使得F()=0 即f75)-f(b)-=0 工工工 b-a 拉格朗日中值公式 或f(b)-f(a)=f()(b-a) 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系
作辅助函数 ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) x a b a f b f a F x f x f a − − − = − + F(x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 F() = 0. 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a 即 f 或 f (b) − f (a) = f ()(b − a). 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系
