第七节函数的微分 问题的提出 微分的定义 四三、可微的条件 巴四、微分的几何意义 四五、微分的求法 微分形式的不变性 七、小结思考题 划回
一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x+△x, △x 正方形面积A=xn2 2 △A=(x0+△x) 0 A =2x0…·△x+(△x) 2) (1):Ax的线性函数且为△A的主要部分 (2):△r的高阶无穷小当△很小时可忽略 王页下
一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到x0 + x , 2 正方形面积 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0
再例如,设函数y=x3在点x处的改变量 为△x时,求函数的改变量△y △y=(xo+△x)-x =3x2,△x+3xn·(△x)2+(△x)3 当△很小时,(2)是Ax的高阶无穷小o(Ax, ∴今y≈3x2·Ax.既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 王页下
再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 y x0 x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义 c定义设函数y=f(x)在某区间内有定义 王x及x+△在这区间内如果 4y=∫(x+△x)-f(x0)=A.△x+0(△x 牛成立其中是与△无关的常数则称函数 y=∫(x)在点x可微,并且称4Ax为函数 y=∫(x)在点x相应于自变量增量Ax的微分, 上记作小,或叭(),即小==4Ax 微分叫做函数增量y的线性主部(微分的实质)
二、微分的定义 定义 ( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记 作 = 或 即 = 在 点 相应于自变量增量 的微分 在 点 可 微 并且称 为函数 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
由定义知: (1)是自变量的改变量Ax的线性函数 生(2)4-d—0△)是比△高阶无穷小 庄(3)当40时,与A是等价无穷小 △ =1+ 0(△x →>1(△x→>0) A·△x 王(44是与无关的常数但与(x)和有关 王(⑤)当A很小时,4y≈d(线性主部 上页
由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部)
王三、可微的条件 庄定理函数(在点可微的充要条件是函 王数f(x)在点x处可导且A=f() 证(1)必要性∵∫(x)在点x可微 N=A+O(△x) 工工工 ∴Ay=A.△x+0(△x) △x △v 则im4y=A+lim 0(△x =A △x→>0△v △x→>0△x 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x 上页
三、可微的条件 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在 点 处可导 且 = 定理 函 数 在 点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f
(2)充分性函数f(x)在点x可导 △ =f(x0),即 △ △x→>0△ =f(x0)+, △x 从而y=f(x0)·△x+α·(△x),∵α>0(△x→0) =f(x0)·△+0(△x), 王“函数(在点可徽。且厂(5)=A 牛∴可导可微A=f(x 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作或(x),即如=f(x)Ax 上页
(2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的
例1求函数y=x3当x=2,△=0.02时的微分 解∵d=(x)Ax=3x2△x 小2=3x2△cx2=0.24 Ar=0.02 Ax=0.02 午通常把自变量的增量△称为自变量的微分 记作,即x=△x y=∫'(x)dx 中y 女=f(x 即函数的微分与自变量的微分之商等于 该函数的导数导数也吧微商 上页
例 1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x3 当 x = x = 时的微分 dy = (x )x 3 3 . 2 = x x0.02 2 2 0.02 2 3 == = = = xx x dy x x x = 0 .24 . , . , dx dx x x x = 记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. f (x). dx dy = 该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
王 四、微分的几何意义 几何意义:(如图) 当△y是曲线的纵 0(△x) 坐标增量时, y=f(x) 就是切线纵坐标 △v 对应的增量 x0x0+△x A当Ax很小时,在点M的附近, 牛切线段M可近似代替曲线段MN 上页
四、微分的几何意义 y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o x 几何意义:(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y x + x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当 很小时 在点 的附近
生五、微分的求法 dy=f(c)dx 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分. 1基本初等函数的微分公式 d(C)=0 d(x=ux dx 工工工 d(sin x)=cos xdx d(cos x)=-sin xdx d(tan x)=sec xdx d(cot x)=-csc xdx d(sec x)=sec x tan xd d(csc x)=csc x cot xdx 上页
五、微分的求法 dy = f (x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 d x x xdx d x x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d C d x x dx (sec ) sec tan (csc ) csc cot (tan ) sec (cot ) csc (sin ) cos (cos ) sin ( ) 0 ( ) 2 2 1 = = − = = − = = − = = −
