第三节反函数的导数 复合函数的求导法则 反函数的导数 巴二、复合函数的求导法则 巴三、小结思考题
一、反函数的导数 定理如果函数x=q(y)在某区间l内单调、可导 且g(y)≠0,那末它的反函数y=f(x)在对应区间 王r内也可导,且有 工工工 f(x) p(y) 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 上页
一、反函数的导数 定理 . ( ) 1 ( ) , ( ) 0 , ( ) ( ) y f x I y y f x x y I x y = = = 内也可导 且有 且 那末它的反函数 在对应区间 如果函数 在某区间 内单调、可导 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
证任取x∈,给x以增量△x(△x≠0,x+△x∈Ix) 由y=f(x)的单调性可知y≠0, Δy1 于是有 Ax△x∵:f(x)连续, Δy→>0(△x→>0),又知q(y)≠0 ∫"(x)=lim △ △x→0△x 4y→0Aq(y) △y 即f"(x) 1 op(y) 上页
证 , x 任取x I 给x以增量x 由y = f (x)的单调性可知 y 0, 于是有 , 1 y x x y = f (x)连续, y → 0 (x → 0), 又知( y) 0 x y f x x = →0 ( ) lim y y x = → 1 lim 0 ( ) 1 y = . ( ) 1 ( ) y f x 即 = ( 0, ) x x x + x I
士 例1求函数y= arcsin x的导数 解∵x=sin,在,∈(-,内单调、可导 22 且(siny)=c0sy>0,∴在/∈(-1,1)内有 (arcsinx)=I 1 siny’cosy1-sin2y 1 同理可得(rcy (arctan x) g:(arccot)=L 1+x 1+x 2 上页
例1 求函数 y = arcsin x的导数. 解 ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导 x = y I y − 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = . 1 1 2 − x = . 1 1 (arccos ) 2 x x − 同理可得 = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = (arcsin x) . 1 1 ( cot ) 2 x x + arc = −
例2求函数y=logx的导数 解x=a在,∈(-0,+∞)内单调、可导, 且(a")=amna≠0,∴在/∈(0,+内有, (oga x)'= rna 特别地(nx)= 上页
例2 求函数 y log x的导数. = a (a ) = a ln a 0, 且 y y 在 (0,+)内有, x I ( ) 1 (log ) = a y a x a a y ln 1 = . ln 1 x a = 解 = 在 (− ,+ )内单调、可导, y y x a I 特别地 . 1 (ln ) x x =
生二、复合函数的求导法则 定理如果函数=9(x)在点x可导,而y=f(a) 生在点=可导,则复合函数y=/9在点 x可导,且其导数为 dh d elksx,=f(uo) o(xo) 即因变量对自变量求导,等于因变量对中问变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 上页
二、复合函数的求导法则 定理 ( ) ( ). , ( ) , [ ( )] ( ) , ( ) 0 0 0 0 0 0 0 f u x dx dy x u x y f x u x x y f u x x = = = = = = 可 导 且其导数为 在 点 可 导 则复合函数 在 点 如果函数 在 点 可 导 而 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
cr证由y=f(a)在点山可导,…im=f(n) L △ 故=∫'(un)+a(lima= 0) △→>0 则y=f()A+aAn △ △L △L ∴Iim △x→>0△ lim/(△△ △v→>0 =f(a)ima"2+ lim a l△n △x→>0△v△x→0△x→>0△x f(u0)p(x0) 上页
证 ( ) , 由y = f u 在点u0可导 lim ( ) 0 0 f u u y u = → ( ) (lim 0) 0 = 0 + = → u f u u y 故 则 y = f (u0 )u +u x y x →0 lim lim[ ( ) ] 0 0 x u x u f u x + = → x u x u f u x x x + = →0 →0 →0 0 ( ) lim lim lim ( ) ( ). u0 x0 = f
推广设y=f(n),u=(v,v=y(x) 则复合函数y=f∫{qy(x)的导数为 例3求函数y= In sin x的导数 解y=lInu,u=sinx dy dy du 1 cos x =一·coSx =cotx dx du dx u sIn 上页
推广 设 y = f (u), u = (v), v =(x), . { [ ( )]} dx dv dv du du dy dx dy y f x = 则复合函数 = 的导数为 例3 求函数 y = lnsin x的导数. 解 y = ln u, u = sin x. dx du du dy dx dy = x u cos 1 = x x sin cos = = cot x
王例求函数p=(x2+1)9的导数 解心=1x2+1)·(x2+1y dx =10(x2+1)·2x=20x(x2+1). 例5求函数y=,a2-x2+, arcsin2的导数 a(a>0) 解y y=CVa2-x)'+(arcsin 2 2 a2-x2-7 2 2、a2-x22a2-x /22 =√a-x 上页
例 4 ( 1) . 求函数 y = x2 + 1 0 的导数 解 10( 1) ( 1) 2 9 2 = x + x + dx dy 10 ( x 1 ) 2 x 2 9 = + 20 ( 1 ) . 2 9 = x x + 例 5 arcsin . 2 22 求函数 2 2 的导数 a a x a x x y = − + 解 arcsin ) 2 ) ( 2( 2 2 2 = − + a a x a x x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 a x a a x x a x − + − = − −. 2 2 = a − x (a 0)
A例6求函数y=l √x2+1 3x-2 (x>2)的导数 解y=In(x2+1) 2 3In(r-2), 2x+13(x-2)=x2+13(x-2) 例7求函数y=ex的导数 解 =e(sn x SIn =已 x·c0S x SIn e x cos 上页
例 6 ( 2) . 21 ln 3 2 求函数 的导数 −+ = x xx y 解 ln( 2), 31 ln( 1) 21 2 y = x + − x − 3( 2) 1 2 1 1 21 2 − − + = x x x y 3( 2) 1 1 2 − − + = x x x 例 7 . 1 sin 求函数 y = e x 的导数 解 ) 1 (sin 1 sin = x y e x ) 1( 1 cos 1 sin = x x e x . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x = −