湘潭大学：《数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章参数估计（3.4）区间估计

譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若我们根据一个实际样本,得到鱼数N的极大似然估计为1000条实际上,N的真值可能大于1000条, 也可能小于1000条. 若我们能给出一个区间,在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了

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§3.4区间估计湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 1 §3. 4 区间估计

引言前面,我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数但是,点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似值的误差范围,使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 2 引言前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷

譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若我们根据一个实际样本,得到鱼数N的极大似然估计为1000条实际上,N的真值可能大于1000条, 也可能小于1000条 ( “ 若我们能给出一个区间,在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中这样对鱼数的估计就有把握多了湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 3 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了. 实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条

也就是说,我们希望确定一个区间,使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值湖中鱼数的真值这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的, 称为置信概率,置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作1-a,这里c是一个很小的正数湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 4 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. • 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1− ，这里  是一个很小的正数

置信水平的大小是根据实际需要选定的例如,通常可取置信水平1-a=0.95或0.9等根据一个实际样本,由给定的置信水平,我们求出一个尽可能小的区间[,62],使 P印61≤6≤62}=1-a 称区间[1,62为6的置信水平为1-a的置信区间. 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 5 置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如，通常可取置信水平 1− =0.95或0.9等. P{ ˆ 1    ˆ 2 } = 1− 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我 ] ˆ , ˆ [ 们求出一个尽可能小的区间 1  2 ，使置信区间. 称区间 [ ˆ 1 , ˆ 2 ] 为  的置信水平为 1− 的

寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手我们选取未知参数的某个估计量b,根据置信水平1-a,可以找到一个正数δ, 使得P6-0K6}=1-a 称S为6与日之间的误差限. 只要知道的概率分布,确定误差限并不难湘潭大学数学与计算科学院一页一页]6

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 6 寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手. 使得 P{| ˆ − |  } =1− 称为  与之间的误差限 . ˆ   我们选取未知参数的某个估计量，根据置信水平，可以找到一个正数，  ˆ 1−  只要知道  的概率分布，确定误差限并不难. ˆ

由不等式|6-6可以解出: 6-6<6<b+6 这个不等式就是我们所求的置信区间下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 7 下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.  −   + ˆ ˆ 由不等式 | ˆ − |  可以解出  ：这个不等式就是我们所求的置信区间

在求置信区间时,要查表求分位数教材上已经给出了概率分布的上侧分位数 (分位点)的定义,为便于应用,这里我们再简要介绍一下. 设0xo=a 的点x。为X的概率分布的上C分位数湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 8 教材上已经给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义，为便于应用，这里我们再简要介绍一下. 在求置信区间时，要查表求分位数. 设0< <1, 对随机变量X，称满足 P(X  x ) = 的点为X的概率分布的上分位数.  x 

设0xo=a 的点x为X的概率分布的上C分位数 f(x) 标准正态分布的 04 X-N(O.)上a分位数例如 C l05=1.645 u X 025 =1.96 湘潭大学数学与计算科学学院国9层m

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 9 例如: u0.05 =1.645 u0.025 =1.96 设0< <1, 对随机变量X，称满足 P(X  x ) =  的点为X的概率分布的上分位数. x  标准正态分布的上  分位数 u 

设0xo=a 的点x为X的概率分布的上a分位数 X 自由度为m的 X-X(n) x分布的上a 分位数ra(m) 例如: C 2 0.025 (3)=9348 X Xa(n) x03(3)=0.216 湘潭大学数学与计算科学学院一四10层

湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页 10 例如: (3) 9.348 2  0.025 = (3) 0.216 2  0.975 = 设0< <1, 对随机变量X，称满足 P(X  x ) =  的点为X的概率分布的上分位数. x  分布的上分位数  ( ) 2   n 2  自由度为n的 

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