§61单因素方差分析 通常把生产实践与科学实验中的结果,如产品的性能, 产量等统称为指标,影响指标的因素用A,B,C,…,表示。 因素在试验中所取的不同状态称为水平,因素的不同水 平用4,42,…表示。 在一项试验中,如果让一个因素的水平变化,其他因素 水平保持不变,这样的试验叫做单因素试验。处理单因 素试验的统计推断问题称为单因素方差分析或一元方差 分析。类似地可定义多因素方差分析。本节先介绍单因 素方差分析 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 §6.1 单因素方差分析 通常把生产实践与科学实验中的结果，如产品的性能， 产量等统称为指标，影响指标的因素用A B C , , , ，表示。 因素在试验中所取的不同状态称为水平，因素A 的不同水 平用 1 2 A A, , 表示。 在一项试验中，如果让一个因素的水平变化，其他因素 水平保持不变，这样的试验叫做单因素试验。处理单因 素试验的统计推断问题称为单因素方差分析或一元方差 分析。类似地可定义多因素方差分析。本节先介绍单因 素方差分析
例6.1有5种油菜品种,分别在4块试验田上种植,所得 亩产量如表6,所示(单位:kg) 表61 田 块 种 A1 256 222 280 298 244 300 290 A3 250 277 230 322 288 280 315 259 A 206 220 212 试问:不同油菜品种对平均亩平产影响是否显著。 湘潭大学数学与计算科学学院四2m
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 例6.1 有5种油菜品种，分别在4块试验田上种植，所得 亩产量如表6.1所示（单位：kg）。 表6.1 1 2 3 4 A1 256 222 280 298 A2 244 300 290 275 A3 250 277 230 322 A4 288 280 315 259 A5 206 212 220 212 田 品 块 种 试问：不同油菜品种对平均亩平产影响是否显著
例6.2某种型号化油器的原喉管结构油耗较大,为节约能源, 设想了两种改进方案以降低油耗指标—比油耗。现对用各 种结构的喉管制造的化油器分别测得如表62的数据。 表62原始数据表 指 标 比油耗 A:原结构231.0232.8226|22.1312.072552.1230.3 A:改进方案I2.8|22.5218.522.2 A:改进方案Ⅱ22.326121.4226 试问:喉管的结构对比油耗的影响是否显著。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 例6.2 某种型号化油器的原喉管结构油耗较大，为节约能源， 设想了两种改进方案以降低油耗指标——比油耗。现对用各 种结构的喉管制造的化油器分别测得如表6.2的数据。 表6.2 原始数据表 比 油 耗 A1 ：原结构 231.0 232.8 227.6 228.3 224.7 225.5 229.3 230.3 A2 ：改进方案Ⅰ 22.8 224.5 218.5 220.2 A3 ：改进方案Ⅱ 224.3 226.1 221.4 223.6 指 水 标 平 试问：喉管的结构对比油耗的影响是否显著
从例1和例2可以看出,在因素A的不同水平下, 试验数据之间存在有差异,即使在因素A的同一个水平 下,试验数据之间同样存在差异。那么,试验数据之间 的差异到底是由于因素水平变化所引起的呢?还是由 于随机误差的干扰所引起的呢?如果是由于因素的水 平改变所引起的,那么因素取什么水平,对试验指标最 有利?这就是方差分析要解决的问题。下面给出这个问 题的数学模型及统计推断方法 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 从例 1 和例 2 可以看出，在因素A 的不同水平下， 试验数据之间存在有差异，即使在因素A 的同一个水平 下，试验数据之间同样存在差异。那么，试验数据之间 的差异到底是由于因素水平变化所引起的呢？还是由 于随机误差的干扰所引起的呢？如果是由于因素的水 平改变所引起的，那么因素取什么水平，对试验指标最 有利？这就是方差分析要解决的问题。下面给出这个问 题的数学模型及统计推断方法
数学模型 设在一项试验中,因素A有个不同水平A,42…,4,在 水平A下的试验结果X服从正态分布N(A4,o2)=12…) 且X1…,X相互独立。现在水平4下做了n1次试验,获 得了n个试验结果X(=1,2,…,n),它可以看成是取自总 体X(=12…)的一个样本(见表63)。由于X服从正 态分布NA22),故X与A的差可以看成一个随机误差 6,服从正态分布(=2…,J=12…n)。于是单因素 方差分析的数学模型可以表示为 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 一、数学模型 设在一项试验中，因素A 有r 个不同水平 1 2 , , , A A Ar ， 在 水平 Ai 下的试验结果Xi 服从正态分布 2 ( , )( 1, 2, , ) N i r i = ， 且 1 , , X Xr 相互独立。现在水平Ai 下做了 i n 次试验，获 得了 i n 个试验结果 ( 1, 2, , ) X j n ij i = ，它可以看成是取自总 体 ( 1, 2, , ) X i r i = 的一个样本（见表 6.3）。由于Xij 服从正 态分布 2 ( , ) N i ， 故 Xij 与 i 的差可以看成一个随机误差 ij ， ij 服从正态分布( 1, 2, , , 1, 2, , )i i r j n = = 。于是单因素 方差分析的数学模型可以表示为
X=u +Ei l,2 E-N(O,o ,F,J=1,2 (6.1) 其中诸6相互独立。我们的任务是检验上述同方差的 r个正态总体的均值是否相等,即检验假设: H0:1=p2=…=分>H1:A22,…, 中至少有两个不相等。 湘潭大学数学与计算科学院一页一页]6
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 2 , 1,2, , , 1,2, , (0, ) ij i ij i ij X i r j n N = + = = ， （6.1） 其中诸 ij 相互独立。我们的任务是检验上述同方差的 r 个正态总体的均值是否相等，即检验假设： 0 1 2 1 1 2 : : , , , H H = = = r r 中至少有两个不相等
表63 总体 样本 样本平均 X X X X X X X 记 =1∑nA(=∑n)=A-表示因素A第i水 平效应(=12,…),则试验数据的数学模型可写为: 湘潭大学数学与计算科学学院国国7层m
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 表6.3 总 体 样 本 样本平均 X1 X11 X12 1 X1n X1 X2 X21 X22 2 X2n X 2 Xr Xr1 Xr 2 r Xrn X r 记 1 1 1 1 ( ), r r i i i i i i n n n n = = = = = − 表示因素 A 第 i 水 平效应( 1, 2, ) i = ，则试验数据的数学模型可写为：
Xn=+a1+En,i=1,2,…,r2j=1,2,…, (6.2) 单因素方差分析问题即为检验假设 H0:C1=C2= a=0分>H, 至少有一个a≠0(=2…)是否成立的问题。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 , 1, 2, , , 1, 2, , X i r j n ij i ij i = + + = = 。 （6.2） 单因素方差分析问题即为检验假设 0 1 2 1 : 0 H H = = = = r ， 至少有一个 0( 1, 2, , ) i =i r 是否成立的问题
、离差平方和分解与显著性检验 显然,检验假设H可以用检验法,只要检验任意 个水平的效应∝等于0,但这样要做次检验,很繁 琐。为了简化步骤,可采用下面介绍的离差平方和分 解的方法。记 x=1∑xn,1=12… (6.3) X=∑∑X 湘潭大学数学与计算科学学院团一四页9m
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9 二、离差平方和分解与显著性检验 显然，检验假设H0 可以用t 检验法，只要检验任意一 个水平的效应i 等于 0，但这样要做r 次检验，很繁 琐。为了简化步骤，可采用下面介绍的离差平方和分 解的方法。记 1 1 , 1, 2, , i n i ij j i X X i r n = = = ， （6.3） 1 1 1 i r n ij i j X X n = = = ， （6.4）
其中”=∑n,X是从第i个总体中抽得的样本均 值,称为组内平均,而X称为总平均,n是从个 总体中抽得的样本的总容量。 由式(6.3)和式(6.4)可以推得 ∑∑(X-X1)X1-H)=0 由此得到,总离差平方和为 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 10 其中 1 r i i n n = = ，X i 是从第 i 个总体中抽得的样本均 值，称为组内平均，而X 称为总平均，n 是从r 个 总体中抽得的样本的总容量。 由式（6.3）和式（6.4）可以推得 1 1 ( )( ) 0 i r n i i ij i j X X X X = = − − = 由此得到，总离差平方和为