§1.2随机变量的特征函数及其性质 定义 定义如果X和Y是实值随机变量,则Z=X+iY为 复随机变量。定义复随机变量Z的数学期望为 EZ=EX+iEy 定义如果随机变量X的分布函数为F(x),则称 +oO 8x(t) =ee= e dF(x) 为X的特征函数 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 § 1.2 随机变量的特征函数及其性质 一 定义 定义 如果 X 和 Y 是实值随机变量，则Z X iY = + 为 复随机变量。定义复随机变量 Z 的数学期望为 EZ EX iEY = + . 定义 如果随机变量 X 的分布函数为 F(x),则称 ( ) ( ) itX itX X g t Ee e dF x + − = = 为 X 的特征函数
特征函数是实变量的一个复值函数,由于2“|=1 所以特征函数对一切t都有定义。 显然,特征函数只与分布函数有关,因此也称某 分布函数的特征函数。 对离散随机变量,若X的概率分布为 P(X=x)=p(i=1,2,…)2 则其特征函数为 ∑ Itx P 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 特征函数是实变量的一个复值函数，由于 1, itx e = 所以特征函数对一切 t 都有定义。 显然，特征函数只与分布函数有关，因此也称某一 分布函数的特征函数。 对离散随机变量，若 X 的概率分布为 ( ) ( 1,2, ), P X x p i = = = i i 则其特征函数为 1 ( ) .i itx i i g t p e = =
对连续随机变量,若X的密度函数为f(x),则其 特征函数为 g e" f(x)db 此时,特征函数即为密度函数的 Fourier变换。 例、二项分布B(,)的特征函数为(pe+q) Poisson分布P()的特征函数为e 正态分布N(20)的特征函数为e 标准正态分布N0的特征函数为e2 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 对连续随机变量，若 X 的密度函数为 f(x),则其 特征函数为 ( ) ( ) . itx g t e f x dx + − = 此时，特征函数即为密度函数的Fourier变换。 例、二项分布 B(n,p)的特征函数为( ) . it n pe q + Poisson 分布P( ) 的特征函数为 ( 1) . it e e − 正态分布 2 N( , ) 的特征函数为 2 2 2 . t i t e − 标准正态分布N(0,1) 的特征函数为 2 2 . t e −
二、特征函数g()的性质 性质1g(0)=1;g()≤g(0)g(-t)=g() 性质2g()在(+)上一致连续。 性质3对任意的正整数n及任意实数1,42…及复 数,2…,n成立 ∑∑g(4-1)4元≥0 性质4相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的 特征函数之积。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 二、特征函数g(t)的性质 性质 1 g(0) = 1; g(t) g(0); g(− t) = g(t). 性质 2 g(t)在( , ) − + 上一致连续。 性质 3 对任意的正整数 n 及任意实数 1 2 , , , n t t t 及复 数 1 2 , , , , n 成立 1 1 ( ) 0. n n k j k j k j g t t = = − 性质4 相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的 特征函数之积
性质5设随机变量X有n阶矩存在,则它的特征函数 可微分n次,且当k≤n时: (k) g (0)=iE(X) 性质6设Y=aX+b,这里a,b为常数,则 gr(t=egr(at) 定理(逆转公式)设分布函数F(x)的特征函数为 g(),x1,x2是F(x)的连续点,则 Itx F(x2)-F(x)=lim_J + e g(tdt T it 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 性质 5 设随机变量 X 有 n 阶矩存在，则它的特征函数 可微分 n 次，且当k n 时： ( ) (0 ) ( ). k k k g i E X = 性质 6 设 Y=aX+b,这里 a,b 为常数，则 ( ) ( ). ibt Y X g t e g at = 定 理(逆转公式 ) 设分布函数 F(x)的特征函数为 g(t), 1 2 x x, 是 F(x)的连续点,则 1 2 2 1 1 ( ) ( ) lim ( ) . 2 itx itx T T T e e F x F x g t dt it − − + →+ − − − =
定理(惟一性定理)分布函数由其特征函数惟一决定 定理如果g(O)M<则相应的分布函数P 的导数存在并连续而且 +0 F"(x)=2 Itx 」。eg()a 湘潭大学数学与计算科学院一页一页]6
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 定理 (惟一性定理) 分布函数由其特征函数惟一决定. 定理 如果 g t dt ( ) , + − 则相应的分布函数 F(x) 的导数存在并连续,而且 1 ( ) ( ) . 2 itx F x e g t dt + − − =
多元特征函数 设随机向量(x1xy…x)的分布函数为(x1x2…x),我 们定义它的特征函数为 g(1,2,)1hc4(1x++)dF(x,…,xn) ,(1.57) 与一元的场合类似,对多元特征函数仍具有如下性质与结论: 性质18(1,t2,…,t)在R"中一致连续,而且 g(12,)-(00.0) g(-1,-12…,-tn)=g(1212…,tn) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 三、多元特征函数 设随机向量 1 2 ( , ,..., ) n x x x 的分布函数为 1 2 ( , ,..., ) F x x xn , 我 们定义它的特征函数为 1 1 ( ... ) 1 2 1 ( , ,..., ) ... ( ,..., ) n n i t x t x n n g t t t e dF x x + + − − = ，（1.57） 与一元的场合类似，对多元特征函数仍具有如下性质与结论： 性质 1 1 2 ( , ,..., ) n g t t t 在 n R 中一致连续，而且 g t t t g ( , ,..., ) 0,0,...0 1 1 2 n = ( ) 1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n g t t t g t t t − − − =
性质2设8(12y…)是n维随机向量(x,x2…x)的特 征函数,则 Y J= 的特征函数是 8y(t)=g(a1,a21,an1) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 性质 2 设 1 2 ( , ,..., ) n g t t t 是 n 维随机向量 1 2 ( , ,..., ) n x x x 的特 征函数， 则 1 n j j j Y a X = = 的特征函数是 1 2 ( ) ( , ,..., ). Y n g t g a t a t a t =
性质3如果 E(ⅠX) 存在,则 ∑「+g(4h,) E∏x1= 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9 性质 3 如果 1 ( )j n k j j E X = 存在，则 ... 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 [ ( , ,..., )] 1 ... 0 [ ] ... n k k kn j n j j n n n n k g t t t k j k k k j t t t t t t E X i t t + + + = − = = = = = =
性质4若(x,X2Xn)的特征函数为8(,2…4),则 k(k<m)维随机向量(X,X2X)的特征函数为 12.k(12t2…,tk)=g(t12…20 (1.60) 这是前k个分量的k维边缘分布所对应的特征函数, 对应与任意k个分量,X2”,X的边缘分布所对应 的特征函数,可以类似得到 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 10 性 质 4 若 1 2 ( , ,..., ) X X Xn 的特征函数为 1 2 ( , ,..., ) n g t t t ， 则 k ( ) k n 维随机向量 1 2 ( , ,..., ) X X Xk 的特征函数为 1,2,... 1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ,0,...,0), k k k g t t t g t t t = （1.60） 这是前 k 个分量的 k 维边缘分布所对应的特征函数， 对应与任意 k 个分量 1 2 , ,..., k X X X j j j 的边缘分布所对应 的特征函数，可以类似得到