温州职业技术学院：《高等应用数学》第六章 矩阵（6.3）用初等变换求解线性方程组

6.3用初等变换求解线性方程组 案例 二、概念和公式的引出 ■三、进一步的练习 Click Here

6.3 用初等变换求解线性方程组 一 、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习

、案例[产品数量] 工厂有1000h用于生产、维修和检 验.各工序的工作时间分别为P,M,l,且 满足:P+M+=1000P=1-100,P+=M+100, 求各工序所用时间分别为多少? 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

一、案例[产品数量] 一工厂有1000h用于生产、维修和检 验．各工序的工作时间分别为P，M，I，且 满足：P+M+I=1000,P=I-100,P+I=M+100， 求各工序所用时间分别为多少？

解由题意得 P+M+I=1000 P-I=-100 P-M+I=100 该方程组的增广矩阵为 111000 0-1-100 1100 下面将求解该方程组转化为对增广矩阵化简 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

该方程组的增广矩阵为 解 由题意得 1000 100 100 P M I P I P M I               1 1 1 1000 1 0 1 100 1 1 1 100 A           下面将求解该方程组转化为对增广矩阵化简

111000 0-1-100 111000 100 11100 10-1-100 21100 0 21100 0-12200 0041300 0-1-100 上式最后一个矩阵012100特点是 0041300 它的任一行的第一个非零元素所在的列中,这 个非零元素下方的元素全为零,这样的矩阵称 为阶梯形矩阵 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

1 1 1 1000 1 0 1 100 1 1 1 100 A           1 2 1 0 1 100 1 1 1 1000 1 1 1 100 r r            2 1 3 1 1 0 1 100 0 1 2 1100 0 1 2 200 r r r r              3 2 1 0 1 100 0 1 2 1100 0 0 4 1300 r r           它的任一行的第一个非零元素所在的列中，这 个非零元素下方的元素全为零，这样的矩阵称 为阶梯形矩阵． 上式最后一个矩阵 1 0 1 100 0 1 2 1100 0 0 4 1300         的特点是：

下面用初等行变换继续化简矩阵 10 100 0-1-100 0 21100—4)012100 0041300 00 325 100225 >010450 001325 最后一个矩阵的特点是:每行的第一个非零元素为 它所在列的其它元素全为0,这样的矩阵称为行简化 矩阵写出它所对应的方程组的解为 P=225.M=450.I=325 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

下面用初等行变换继续化简矩阵. 1 0 1 100 0 1 2 1100 0 0 4 1300         3 1 4 1 0 1 100 0 1 2 1100 0 0 1 325 r           1 3 2 3 2 1 0 0 225 0 1 0 450 0 0 1 325 r r r r            最后一个矩阵的特点是：每行的第一个非零元素为1， 它所在列的其它元素全为0，这样的矩阵称为行简化 矩阵.写出它所对应的方程组的解为 P  225, M  450,I  325

二、概念和公式的引出 矩阵的秩对给定的mXm矩阵,在矩阵经过初等 变换得到的阶梯矩阵中,非零元素的行数r,称为 矩阵的秩.记作R(A)=r 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

对给定的 m×n矩阵，在矩阵经过初等 变换得到的阶梯矩阵中，非零元素的行数r ，称为 二、 概念和公式的引出 矩阵的秩 矩阵的秩．记作R（A）= r ．

线性方程组有解的判定定理」 c1x1+a12X2+…+a1nxn a21x1+a22x2+.+a2nxn=b 线性方程组 amx,+am2x2+.+amnxn=b 有解的充分必要条件是R小=R(小 ()当R(小=(=n时,方程组有唯一解 (2)当R小=R小<n时,方程组有无穷多组解 (3)当风(4≠A时,线性方程组无解 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

线性方程组有解的判定定理 线性方程组                  m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 有解的充分必要条件是 RARA (1)当 RARAn 时，方程组有唯一解； (2)当 RARAn 时，方程组有无穷多组解． (3)当 RA RA 时，线性方程组无解．

II 12 X 其中A=21 B A=(AB)称为线性方程组(62.1)的增广矩阵,即 b b2 12 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

A(A B) 称为线性方程组(6.2.1)的增广矩阵，即 其中        m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1        n x x x X  2 1        bn b b B  2 1        m m mn m n n b b b a a a a a a a a a A        2 1 1 2 21 22 2 11 12 1

特别地,对于齐次线性方程组 +a 1242 +…+a1x.=0 a21x1+a2x2+…+a2xn=0 nn ax + a m2x2+ +ax.=0 2 ml 显然:R(A)=RA),总有解(至少有零解) 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

特别地，对于齐次线性方程组        0 0 0 1 2 21 22 2 11 12 1        m m mn n n a a a a a a a a a A 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x                      显然：R(A) R(A)，总有解（至少有零解）．

齐次线性方程组有解的判定理 齐次线性方程组(632)总有解, (1)当R(小=k小=n时,方程组有零解 (2)当(小=k(小<n时,则方程组有无穷多组非零解 (有n-r个自由变量) 高等应用数学CA|电子教案 上页下页返回

齐次线性方程组（6.3.2）总有解， 齐次线性方程组有解的判定定理 (1)当 RARAn 时，方程组有零解； (2)当 RARAn 时，则方程组有无穷多组非零解． （有n-r个自由变量）．