2.4高阶导数及其应用 2.4.1高阶导数的概念 ■2.4.2二阶导数的意义 click Here
2.4 高阶导数及其应用 2.4.1 高阶导数的概念 2.4.2 二阶导数的意义
2.4.1高阶导数的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 进一步练习 click Here
2.4.1 高阶导数的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
、案例[加速度的表示] 我们知道,变速直线运动的速度v()是路程函数s(t) 关于时间的导数,即w()=或v)=(),而加速度 a又是速度v)关于时间的导数,即 dv dd dt dt( dt 或a=(s() 我们称这种导数)出的导数(出或(O 为s(对的二阶导数 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
一、案例 [加速度的表示] 我们知道，变速直线运动的速度v(t)是路程函数s(t) 关于时间t的导数，即 t s v t d d ( ) = 或 v(t) = s(t) ，而加速度 a又是速度v(t)关于时间t的导数，即 = = t s t t v a d d d d d d 或 a = (s t ) ( ) 我们称这种导数 t s v t d d ( ) = 的导数 t s t d d d d 或 ( ) s (t) 为s(t)对t的二阶导数
概念和公式的引出 阶导数对于函数y=f()称f(x)的导数为函数 的二阶导导数,记作yf(或y。 类似地,二阶导数f"(x)的导数称为f(x)的三阶导数, 记作y、f"(x咙dy dx yfx.的n-1阶导数fm(x导数称为=f(x)的阶导数 记作y"f(x)或 d"y 2二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
二、 概念和公式的引出 对于函数y= f (x),称 f (x) 的导数为函数 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数． 类似地，二阶导数 f (x) 的导数称为y= f (x)的三阶导数， y= f (x)的n-1阶导数 ( ) ( 1) f x n− 的导数称为y= f (x)的n阶导数， n阶导数 的二阶导导数，记作 y f x ( ) 或 2 2 d d x y 、 。 ( ) n y ( ) ( ) n f x 或 d d n n y x 记作 、 y f x ( ) 或 3 3 d d x 记作 、 y
三进-步的练习 8练习1[刹车测试] 在测试一汽车的刹车性能时发现,刹车后汽车 行驶的距离(单位:m)与时间t(单位:s满足 s=19.21-0.4t 假设汽车作直线运动,求汽车在4s时的速度和 加速度 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
三、进一步的练习 3 s =19.2t − 0.4t 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车 练习1 [刹车测试] 假设汽车作直线运动，求汽车在t=4s时的速度和 加速度． 行驶的距离（单位：m）与时间t (单位：s)满足
解汽车刹车后的速度为 ds =(192t-041y=19.2-1.2t2(m/s) d 汽车刹车后的加速度为 dy (192-12)=-2.4(m/s2) 4s时,汽车的速度为 =(192-122)4=0(m/s) 4s时,汽车的加速度为 a=-24=4=-96(m/s2) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
解 汽车刹车后的速度为 d d s v t = 3 = − (19.2 0.4 ) t t = − 19.2 1.2t 2 (m/s)， 汽车刹车后的加速度为 d d v a t = 2 = − (19.2 1.2 ) t = −2.4t (m/s2 )， t=4s时，汽车的速度为 t=4s时，汽车的加速度为 v = 2 4 (19.2 1.2 ) t t − = = 0 (m/s)， a 4 2.4 9.6 t t = − = − = (m/s2 )
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2.4.2 二阶导数的意义 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习
、案例[国防预算] 1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和 参议院削减了国防预算.但是他的对手却反驳道,国 会只是削减了国防预算增长的变化率.换句话说,若 用f(x)表示预算关于时间的函数,那么预算的导数 f(x)>0预算仍然在增加,只是f∫"(x)<0即预算的增长 变缓了 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和 参议院削减了国防预算．但是他的对手却反驳道，国 会只是削减了国防预算增长的变化率．换句话说，若 用f (x)表示预算关于时间的函数，那么预算的导数 一、案例 [国防预算] f (x) 0 预算仍然在增加，只是 f (x) 0 即预算的增长 变缓了．
二、概念和公式的引出 曲线的凹、凸与拐点: 在区间上任意作曲线f(x)的切线,若曲线总是在 切线上方,则称此曲线在区间/上是凹的;若曲线 总是在切线下方,则称此曲线在区间上是凸的 曲线凹、凸性的分界点称为曲线的拐点 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
二、 概念和公式的引出 曲线的凹、凸与拐点: 在区间I上任意作曲线y=f (x)的切线，若曲线总是在 切线上方，则称此曲线在区间I上是凹的；若曲线 总是在切线下方，则称此曲线在区间I上是凸的． 曲线凹、凸性的分界点称为曲线的拐点．
曲线凹凸性的判定 设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且在开区间 (a,b)内具有二阶导数,如果对于任意x∈(a,b),有 1)f(x)>0,则函数f(x)在区间[a,b上是凹的 (2)f(x)<0,则函数f(x)在区间[ab]上是凸的 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
(a,b)内具有二阶导数，如果对于任意 x (a,b) ，有 曲线凹凸性的判定: 设函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间 (1) f (x) 0 ，则函数f (x)在区间[a,b]上是凹的； (2) f (x) 0 ，则函数f (x)在区间 [a,b]上是凸的．