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第五节 函数的微分及其应用 一、案例 二、 概念和公式的引出 三、进一步练习
、案例[热长冷缩] 考察当金属片受热边长由x变到x+Ax时金属片 面积增加了多少? 边长为x的正方形面积为s=x2 当边长从x变到x+Ax时,面积增量 AS=(o+Ax)"-xo =2xo 4x+(4x) 可以看出,面积的增量AS 可近似地用2x4x(绿色部分)代替 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
一、案例 [热长冷缩] 考察 面积增加了多少？ 当金属片 0 x 变到 x + x 受热边长由 0 时，金属片 边长为x的正方形面积为s=x 2 当边长从 x0 变到 x0 + x 时，面积增量 2 0 2 0 2 0 S = (x + x) − x = 2x x + (x) 可以看出，面积的增量 S 可近似地用 2x0 x （绿色部分）代替
二、概念和公式的引出 微分设函数(x在点的附近可导,则f(x 称为函数x)在点的微分,记作d 一般地,函数在任一点处的微分为dy=f(x)dx 播放 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
二、 概念和公式的引出 设函数f (x)在点x0的附近可导，则 0 f x x ( )d 称为函数f (x)在点的微分，记作 0 d x x y = 一般地，函数在任一点处的微分为 d ( )d y f x x = 微分
微分在近似计算中的应用当自变量的增量Ax很小时 dy≈Ay即函数的改变量可以用函数的微分来近似计算 在实践中往往利用微分函数增量的近似值 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
微分在近似计算中的应用 当自变量的增量 x 很小时， dy y 即函数的改变量可以用函数的微分来近似计算． 在实践中往往利用微分函数增量的近似值
进一步练习 9练习1[金属立体受热后体积的改变量] 某一正方体金属的边长为2cm,当金属受热 边长增加0.01cm时,体积的微分是多少?体积的 改变量又是多少? 解体积的微分为d=(x3)dx=3x2dx=3x2Ax 将x=2,Ax=001代入上式,得体积的微分 d|x2=3×22×001=0.12(cm3) △x=0.01 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
三、进一步练习 练习1 [金属立体受热后体积的改变量] 某一正方体金属的边长为2cm，当金属受热 将 x = 2, x = 0.01 代入上式，得体积的微分 2 0.01 d x x V = = 2 3 = = 3 2 0.01 0.12(cm ) 边长增加0.01cm时，体积的微分是多少？体积的 体积的微分为 3 2 2 解 d ( ) d 3 d 3 V x x x x x x = = = 改变量又是多少？
在x=2,Ax=001处体积的改变量为 △x=2=(2+0.013-23=0.1206cm3) △x=0.01 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
在 x = 2, x = 0.01 处体积的改变量为 2 0.01 x x V = = 3 3 3 = + − = (2 0.01) 2 0.1206(cm )
g练习2[电压改变量]设有一电阻负载R=25g2 现负载功率P从400W变到401W,求负载两端电压 l的改变量。 解由电学知,负载功率P=即n=√RP 故 d、dRP R dP dp 2√PR 因为P=400,R=25,dp=1 所以电压的改变量为 2√25×400 1=0125(V) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
练习2 [电压改变量] 设有一电阻负载 R=25 现负载功率P从400W变到401W，求负载两端电压 u的改变量。 故 d d d d RP u P P = d 2 R P PR = 因为P=400，R=25，dp=1, 1 2 25 400 25 u = 0.125 （V） 由电学知，负载功率 R u P 2 解 = 即 u = RP ， 所以电压u的改变量为
∞练习3[收入增加量] 某公司生产一种新型游戏程序,假设能全部出售,收入 函数为R=36x-x,其中x为公司一天的产量,如果公司 20 每天的产量从250增加到260,请估计每天的收入增加量 解公司每天产量的增加量为Ax=10,用dR估计每天的 收入增加量,则 △R ≈B=1(3 (36-)△ △x=10 x=250 x=250 x=250 =(360-x)x=20=110 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
练习3 [收入增加量] 函数为 20 36 2 x R = x − ，其中x为公司一天的产量，如果公司 每天的产量从250增加到260，请估计每天的收入增加量． 某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部出售，收入 收入增加量，则 解公司每天产量的增加量为 =x 10 ，用dR估计每天的 10 10 250 250 x x x x R dR = = = = 10 250 2 (36 ) 20 x x x x x = = = − 10 250 (36 ) 10 x x x x = = = − 250 (360 ) 110 x x = − = =
练习5[钟表误差]一—机械挂钟的钟摆的周期为1s,在冬 李,摆长因热涨冷缩而缩短了0.0lcm,已知单摆的周 期为7=2x2,其中g-98ms,问这只钟每秒大约快 8 还是慢多少? 解因为钟摆的周期为1秒,所以有 1=2丌 解之得摆的原长为 g 2丌 ,又摆长的改变量为 M=-001厘米,用近似计算△T,得 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回
练习5 [钟表误差] 一机械挂钟的钟摆的周期为1s，在冬 季，摆长因热涨冷缩而缩短了0.01cm，已知单摆的周 期为 g l T = 2 ，其中 g = 980 cm/s，问这只钟每秒大约快 还是慢多少？ 解 因为钟摆的周期为1秒，所以有 g l 1 = 2 解之得摆的原长为 2 (2 ) g l = ，又摆长的改变量为 = − l 0.01厘米，用dT 近似计算 T ，得
△T≈dT △l=丌-△l 将 g (2丌 M=-0.01代入上式得 △T≈dT=x-△l ×(-0.01) gl g V°(2z)2 2 (-0.01)≈-00002(s) 这就是说,由于摆长缩短了0.0lcm,钟摆的周期 相应地缩短了约00002s 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回
dT 1 T dT l l dl gl = = 将 2 (2 ) g l = ， = − l 0.01 代入上式得 ( 0.01) (2 ) 1 2 − = = g g l gl T dT 这就是说，由于摆长缩短了0.01cm，钟摆的周期 相应地缩短了约0.0002s． 2 2 ( 0.01) 0.0002 g = − − (s)