高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第五节高阶线性微 概念的引入 线性微分方程的解的结构 降阶法与常数变易法 ◎小结、思考题 Http://www.heut.edu.cn
第五节 高阶线性微分方程 小结、思考题 降阶法与常数变易法 线性微分方程的解的结构 概念的引入
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、概念的引入 例:设有一弹簧下挂一重物如果使物体具有一个初 始速度v≠0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置 附近作上下振动试确定物体的振动规律x=x(t) 解受力分析 1恢复力∫=-cx; 0 2阻力R= Http://www.heut.edu.cn
例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初 始速度v0 0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置 附近作上下振动.试确定物体的振动规律x = x(t). 解 受力分析 1.恢复力 f = −cx; 2. ; dt dx 阻力 R = − x x o 一、概念的引入
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> F dx cr-a. dt dx+2n+k2x=0物体自由振动的微分方程 dt 若受到铅直干扰力F= H sin pt, dx dx 2+2n+kx= hsin pt强迫振动的方程 dt 2 E Lc.+2B.+Oou=m sin at dt LC 串联电路的振荡方程 Http://www.heut.edu.cn
F = ma, , 2 2 dt dx cx dt d x m = − − 2 0 2 2 2 + + k x = dt dx n dt d x 物体自由振动的微分方程 若受到铅直干扰力 F = H sin pt, k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 + + = 强迫振动的方程 t LC E u dt du dt d u Lc m c c c 2 sin 2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> dy+ P(x)+o(x)y=f(x) dx 2 二阶线性微分方程 当f(x)=0时,二阶线性齐次微分方程 当∫(x)≠0时,二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 y+P()y+. +P_()y+P(x)y=f(x). Http://www.heut.edu.cn
二阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 Q x y f x dx dy P x dx d y + + = 当 f (x) = 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f (x) 0时， 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ( 1) 1 ( ) y P x y Pn x y Pn x y f x n n + + + − + = −
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 三、线性傲分方程的解的结构 二阶齐次方程解的结构: y"+P(x)y+Q(x)y=0(1) 定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程1)的两个 解,那末y=C1y1+C2y2也是(1)的解.(C1,C2是常 数) y=C1J1+C2y2定是通解吗? 问题 Http://www.heut.edu.cn
定理 1 如果函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是常 数） y = C1 y1 + C2 y2一定是通解吗？ y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1) 1.二阶齐次方程解的结构: 问题 二、线性微分方程的解的结构
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 设y1,y2;…,Jn为定义在区间内的 个函数.如果存在个不全为零的常数,使得 当x在该区间内有恒等式成立 k1y1+k2y2+…+knyn=0 那么称这n个函数在区间内线性相关.否则 称线性无关 例如当x∈(∞,+∞时,e,e,e2线性无关 l,cos2x,sin2x线性相关 Http://www.heut.edu.cn
x x 2 2 1，cos , sin x x x e e e 2 , ，− 线性无关 线性相关 当x (−, + )时， 定义：设 n y , y , , y 1 2 为定义在区间I 内的n 个函数．如果存在n 个不全为零的常数，使得 当x在该区间内有恒等式成立 k1 y1 + k2 y2 ++ kn yn = 0， 那么称这n个函数在区间I 内线性相关．否则 称线性无关 定义 例如
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 特别地:若在1上有(x)≠常数, 则函数y(x)与y2(x)在Ⅰ上线性无关 定理2:如果y;(x)与y2(x)是方程1)的两个线 性无关的特解,那么y=C1y1+C2y2就是方程(1) 的通解 例如y”+y=0,y=c0sx,y2=Sinx, 且=tanx≠常数,y=C1cosx+C2sinx Http://www.heut.edu.cn
特别地: 若在 I 上有 常数， ( ) ( ) 2 1 y x y x 则函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 在 I 上线性无关. 定理 2：如果 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 1 1 2 2 y = C y + C y 就是方程(1) 的通解. y + y = 0, cos , sin , y1 = x y2 = x tan , 1 且 2 = x 常数 y y cos sin . y = C1 x + C2 x 例如
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2二阶非齐次线性方程的解的结构 定理3设y是二阶非齐次线性方程 y+P(x)y+o(x)y=f(x) 的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通 解,那么y=y+y是二阶非齐次线性微分方程(2 的通解 Http://www.heut.edu.cn
定 理 3 设 * y 是二阶非齐次线性方程 y + P(x) y + Q(x) y = f (x) (2) 的一个特解, Y 是 与(2)对应的齐次方程(1)的 通 解, 那么 * y = Y + y 是二阶非齐次线性微分方程(2) 的通解. 2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定理4设非齐次方程(2)的右端∫(x)是几个函 数之和,如y”+P(x)y2+Q(x)y=f1(x)+f2(x) 而y与y2分别是方程 y+P()y+o(xy=f(x) y+P(x)y+e(x)y=2(x) 的特解,那么y+y2就是原方程的特解 解的叠加原理 Http://www.heut.edu.cn
定 理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y + P x y + Q x y = f x + f x 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) 1 y + P x y + Q x y = f x ( ) ( ) ( ) 2 y + P x y + Q x y = f x 的特解, 那么 * 2 * 1 y + y 就是原方程的特解. 解的叠加原理
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 三、降阶法与常数变易法 1.齐次线性方程求线性无关特解 降阶法 设v是方程(1)的一个非零特解 令 ux 代入(1)式,得 y"+(2y+P(x)y1+(y1+P(x)y1+Q(x)y1)u=0, 即y;u"+(2y1+P(x)y,)t’=0,令v=l 则有y+(2y1+P(x)yv=0, Http://www.heut.edu.cn
设y1是方程(1)的一个非零特解， 2 1 令 y = u(x) y 代入(1)式, 得 (2 ( ) ) ( ( ) ( ) ) 0, y1u + y1 + P x y1 u + y1 + P x y1 + Q x y1 u = 令v = u , 则有 (2 ( ) ) 0, y1v + y1 + P x y1 v = (2 ( ) ) 0, 即 y1u + y1 + P x y1 u = 1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法 三、降阶法与常数变易法