高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第四节函数展开成罪织 ○泰勒级数 函数展开成票級数 小结 Http://www.heut.edu.cn
第四节 函数展开成幂级数 泰勒级数 小结 函数展开成幂级数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 泰勒级数 上节例题∑(1)1=m(1+x)(-1<xs1) f(x)=∑an(x-xn)”存在幂级数在其收敛 oo 域内以fx)为和函数 问题:1.如果能展开,mn是什么? 2展开式是否唯-? 3在什么条件下才能展开成幂级数? Http://www.heut.edu.cn
上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 一、泰勒级数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 理国如果函数f(x)在U2(x)内具有任意阶导 数,且在U2(x0)内能展开成(x-x0)的幂级数, 即f(x)=∑an(x-x) n-=0 则其系数an=,f"(x)(m=0,,2,…) 且展开式是唯一的 证明∵∑an(x-x0)在(x收敛于f(x)即 n-=0 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)+ Http://www.heut.edu.cn
证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 如果函数 f ( x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) 0 U x 内能展开成( ) 0 x − x 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的. 定理1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 逐项求导任意次得 ∫(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+ f(n(x)=n!an+(mn+1)n…3.2an1(x-x0)+ 令x=x0,即得 f(x0)(n=0,1,2,…)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,f(x)的展开式是唯一的 Http://www.heut.edu.cn
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 泰勒系数
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 如果f(x)在点x处任意阶可导,则幂级数 ∑!(x-x)“称为f(x)在点x的泰勒级数 n=0 x“称为f(x)在点x的麦克劳林级数 =0 问题f(x)?∑(0(x-xn) n=0 泰勒级数在收敛区间是否收敛于fx)?不一定 Http://www.heut.edu.cn
如果 f (x)在点x0处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f (x)在点x0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例如f(x)={e ≠0 0,x=0 在x=0点任意可导,且∫(0)=0(n=0,1,2,…) f(x)麦氏级数为∑0x 该级数在(-0,+0)内和函数(x)≡0.可见 除s=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于∫(x) Http://www.heut.edu.cn
= = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定理到∫(x)在点x的泰勒级数,在U6(x)内收 敛于f(x)冷冷在U(x0)内lmRn(x)=0 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数, f(x)=∑ o(x-xo)+r,(x) i=0 i! Rn(x)=∫(x)-Sn+1(x), lim s+1(x)=∫(x) n→>0 lim r,(x)=limlf(x)-Sn+1(x)=0 n→0 Http://www.heut.edu.cn
f ( x)在点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内收 敛于 f ( x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0; 定理2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 充分性∵f(x)-Sn(x)=Rn(x) limlf(x)-smu(x)l=lim r,(x)=0, 即imSn1(x)=f(x) n→0 f(x)的泰勒级数收敛于f(x) 理3_设f(x)在U(x)上有定义,彐M>0,对 Vx∈(x-R,x+R,恒有f(x)≤M (n=0,1,2,),则f(x)在(x0-R,x0+R)内可展 开成点x的泰勒级数 Http://www.heut.edu.cn
= 0, 充分性 ( ) ( ) ( ), f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − lim R (x) n n→ = lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 设 f ( x) 在 ( ) U x0 上 有 定 义 , M 0 , 对 ( , ) x x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( ) ( ) (n = 0,1,2,),则 f ( x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数. 定理3
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证明 (n+1) R, (x)= (x-x0)≤M r-x 0 (n+1) (n+1) n+1 x∈(x0-R,x0+R) ∑ x-x,在(-∞,+∞收敛 (n+1) n lim n→>0(n+1) n,=0,故IimR(x)=0, n→0 x∈(x-R,x+R) 可展成点x的泰勒级数 Http://www.heut.edu.cn
证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x , ( 1)! 1 0 + − + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + − = + n n n x x 0, ( 1)! lim 1 0 = + − + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 . 可展成点x0的泰勒级数 ( , ) x x0 − R x0 + R
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、菡数的泰勒级数展开 ①直接法(泰勒级数法) 步骤:(1)求≈f(m)(则 (2)讨论imR,=0或f(x)≤M, n→00 则级数在收敛区间内收敛于f(x) Http://www.heut.edu.cn
直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , ( ) R f x M n n n = → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x). 1 二、函数的泰勒级数展开