河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 多元函数微分法及其应用（8.5）隐数的求导公式

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第 一个方程的情形 方程组的情形 ◎小结与思考题 Http://www.heut.edu.cn

第五节 隐函数的求导公式 一个方程的情形 方程组的情形 小结与思考题

多元复合函数的求导法 ③连锁规则 后能结 体来率嬉 全微分的形式不变性

上节回顾 多元复合函数的求导法则 连锁规则 全微分的形式不变性

链式法则如图示 01,0 ax ax az Oz au ay Oy Ou ay ×

u v x z y 链式法则如图示 =   x z    u z x u      + v z , x v   =   y z    u z y u      + v z . y v  

链式法则图尔及记忆法 y Ov fn·+∫ 00 Z au av u ay

u v x z y 链式法则图示及记忆法 =   x z  u f x u   +  v f , x v   =   y z y u   . y v    u f +  v f

链式法则图尔及记忆法 y 0乡 Ov ax f1 +J2 au O fi ay

u v x z y 链式法则图示及记忆法 x u   =   x z  1 f +  2 f , x v    1 = f   y z y u   . y v   +  2 f

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有 连续的偏导数,且F(x0,y)=0,F(x0,y)≠0, 则方程F(x,y)=0在点P(x,y)的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y=∫(x),它满足条件y0=f(x0),并有 小yF 隐函数的求导公式 Http://www.heut.edu.cn

1. F(x, y) = 0 设函数F( x, y)在点 ( , ) 0 0 P x y 的某一邻域内具有 连续的偏导数，且F(x0 , y0 ) = 0，Fy (x0 , y0 )  0， 则方程F( x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y = f ( x)，它满足条件 ( ) 0 x0 y = f ，并有 y x F F dx dy = − . 隐函数的求导公式 隐函数存在定理1 一、一个方程的情形

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1 的隐函数y=∫(x),并求这函数的一阶和二阶导 数在x=0的值. 解令F(x,y)=x2+y2-1 则F=2x,F=2y, F(0,1)=0,F(0,1)=2≠0, 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的 函数y=f(x) Http://www.heut.edu.cn

例１ 验证方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时y = 1 的隐函数y = f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值. 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2 x , x = F 2 y , y = F ( 0 , 1 ) = 0 , ( 0,1 ) = 2  0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0 时y = 1的 函数 y = f (x)．

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 函数的阶和二阶导数为 dy 0 2 d J y y=xty 2 2 2 Http://www.heut.edu.cn

函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy = − , y x = − 0, 0 = dx x= dy 2 2 2 y y xy dx d y −  = − 2 y y x y x       − − = − , 1 3 y = − 1. 0 2 2 = − x= dx d y

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2已知mx2+p2= arctan y,求 解令F(x,y)=ln√x2+y2- arctan A F(,ys x+y F(x,y)= ty y=x 2 29 r t y 中F_x+y dx F y-r Http://www.heut.edu.cn

例 2 已知 x y ln x y arctan 2 2 + = ，求 dx dy . 解 令 则 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y = x + y − ( , ) , 2 2 x y x y F x y x + + = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y + − = y x F F dx dy = − . y x x y − + = −

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2.F(x,y,z)=0 隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y,xa)的某一邻域 内有连续的偏导数,且 F(o, yo 90 )=0,F2(x0,y0,a)≠0 三0 则方程F(x,y,x)=0在点P(x0,y0,z)的某一邻 域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏 导数的函数z=∫(x,y),它满足条件 050) 并有a_F az F Ox F Http://www.heut.edu.cn

设函数F(x, y,z)在点 ( , P x0 , ) 0 0 y z 的某一邻域 内有连续的偏导数，且 ( , F x0 y0 ,z0 ) = 0，Fz (x0 , y0 ,z0 )  0， 则方程F( x, y,z) = 0在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的某一邻 域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏 导数的函数z = f ( x, y)，它满足条件 ( , ) 0 0 0 z = f x y ， 并有 z x F F x z = −   ， z y F F y z = −   2. F(x, y,z) = 0 隐函数存在定理2