河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 重积分（9.3）续 三重积分

√教学基本要求 l CH9重积分√授课内容 √§1预备知识空间的三个坐标系 分的概 √知识回顾 §3三重积分 √一、三重积分的概念 √例1 2 √例3 1999 √例5

CH9 重积分 §3 三重积分 1999 §1 预备知识 空间的三个坐标系 §2 三重积分的概念及其计算方法 知识回顾 一、三重积分的概念 例1 教学基本要求 例2-1 例4 例3 例2-2 例题分析 授课内容 例5

CH9重积分 2 §3三重积分授课提纲 教学基本要求 1.进一步理解元素法的思想,会用元素法建立数学模型 2.清楚地认识空间的三种坐标系,并会绘制三种坐标系的图形 3.熟练掌握在三种坐标系下计算三重积分 4.熟练掌握使用 Mathematic软件计算三重积分 搅裸内容 §1预备知识空间的三个坐标系 §2三重积分的概念及其计算方法

CH9 重积分 §3 三重积分授课提纲 1. 进一步理解元素法的思想，会用元素法建立数学模型 2. 清楚地认识空间的三种坐标系，并会绘制三种坐标系的图形 3. 熟练掌握在三种坐标系下计算三重积分 4. 熟练掌握使用Mathematic软件计算三重积分 §1 预备知识 空间的三个坐标系 §2 三重积分的概念及其计算方法

例题分析 3 例1,试在三中坐标系中化三重积分|=0(0为三次积分, Q 其中g是由z=R,及z=x2+y2所围成的立体 例2.求由下列曲面围成的立体的体积 (1)z=6-x2-y2,z=x2+y (2)x2+y2+z2=2=,==√x2+y (3)z=x2+y2,2=x2+y2 (4)==√5-x2-y2,42=x2+y2 例3,计算上y其中2是第一挂限中的球面x+y+2=4 与平面=1及y=3x,y=x所围成的区域 例4·计算其中2是由椭圆+1+==1围成的空间区域 a b

例2· 求由下列曲面围成的立体的体积 例1· 试在三中坐标系中化三重积分 为三次积分， 其中 是由 ，及 所围成的立体。   I = f (x, y,z)dV z = R 2 2  z = x + y （1） ， 2 2 z = 6 − x − y 2 2 z = x + y （2） x y z 2z ， 2 2 2 + + = 2 2 z = x + y （3） z = x 2 + y 2 ， 2 2 z = x + y （4） ， 2 2 z = 5 − x − y 2 2 4z = x + y 例3· 计算 I= 其中 是第一挂限中的球面 与平面 及 ， 所围成的区域。   zdV  4 2 2 2 x + y + z = z =1 y x 3 1 = y = x 例4· 计算I=  其中 是由椭圆 围成的空间区域。  z dV 2  1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x

CH9重积分 §1预备知识空间的三个坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系中的坐标平面: x=常数一组平行于YOZ的平面 y=常数一组平行于XOZ的平面 z常数一组平行于XOY的平面 直角坐标系中的体积元素:dV= dxdydz

CH9 重积分 §1 预备知识 空间的三个坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系中的坐标平面： y=常数 一组平行于XOZ的平面 x=常数 一组平行于YOZ的平面 z=常数 一组平行于XOY的平面 直角坐标系中的体积元素：dV=dxdydz

5 二、柱坐标系 1.平面上的极坐标系+Z轴 2.柱坐标系中的坐标:,r,2 x=rcos 0 3柱坐标与直角坐标的关系y=rsn0x+y2=2gO=y Z=Z 4.柱坐标的取值范围:0≤6≤2x,0≤r<∞,-∞<z<+ 5.柱坐标系下的体积元: 理论推导: rsing cos 0 0 0 01 rdxdydz

二、柱坐标系 2. 柱坐标系中的坐标： 1. 平面上的极坐标系+Z轴 理论推导： 3. 柱坐标与直角坐标的关系： 5. 柱坐标系下的体积元： 4. 柱坐标的取值范围：      = = = z z y r x r   sin cos 2 2 2 x + y = r x y tg = 0   2 , 0  r  , −   z  +  d drdz z z z y y y x x x dV dxdydz r z r z r z              = = r d drdz r      0 0 1 cos sin 0 − sin cos 0 = = rdxdydz  ,r,z

6 几何解释: 请观察柱坐标系下的坐标曲面: 0-常数过Z轴的半平面 r常数以Z轴为中心轴的柱面 z常数平行于XOY面的平面 所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体,其体积为: dv=rdedrdz

请观察柱坐标系下的坐标曲面： 几何解释： =常数 过Z轴的半平面 z=常数 平行于XOY面的平面 r=常数 以Z轴为中心轴的柱面 所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体，其体积为： dv = rddrdz

三、球坐标系 几何解释:7 1·球坐标系下的坐标:6,9,F x=rsin cos 6 10.秒0.51 2·球坐标与直角坐标的关系y= rsing sin Z=rCos p x2+y2+z2=r2 rty =r sin 3球坐标的取值范围: 0≤6≤27,0≤r<0,0<9<7 4·球坐标系下的体积元:a=r2snq 理论推导: dv=dxdydz p r dedodr rsin sin e rcos cos 6 sin o cos 6 rsin cos0 rcos sino sinsin 0 ldedrdz cos r- sin gadedadr

三、球坐标系 1· 球坐标系下的坐标： 2· 球坐标与直角坐标的关系： 理论推导： 4· 球坐标系下的体积元： 3· 球坐标的取值范围：  ,,r      = = =      cos sin sin sin cos z r y r x r 2 2 2 2 x + y + z = r  2 2 2 2 x + y = r sin 0    2,0  r  ,0     sin  2 dV = r d d dr z z z y y y x x x dV dxdydz r r r                  = = d drdz r r r r r                0 sin cos sin cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin cos − − = r sindddr 2 = 几何解释：

§2三重积分的概念及其计算方法 8 知识回顾 重积分定义:(x,)=im∑/(5,m)A 重积分的几何意义:∫J(x,ydor= JVf(x,y)>0 -Vf(x,y<0) 二重积分的物理意义:平面板块D的质量MD=p(x,y)d 元素法的要点:(一)分割 分割什么? (二)近似代替如何作近似代替? (三)求和 这个和是什么和? (四)取极限极限中的一般含义是什么?

§2 三重积分的概念及其计算方法 二重积分的几何意义： 二重积分定义： 二重积分的物理意义：平面板块D的质量 知识回顾 （四）取极限 极限中的一般含义是什么？ 元素法的要点：（一）分割 分割什么？ （二）近似代替 如何作近似代替？ （三）求和 这个和是什么和？  = → =  D n i i i i f x y d f 1 0 ( , )  lim ( , )       −   = D V f x y V f x y f x y d ( , 0) ( , ) 0 ( , )   = D MD (x, y)d

一、三重积分的概念 9 1·〖定义〗设u=fx,y在空间闭区域上有界,如果 「f(x,y=mn∑/(5,n)A 的极限值在,则称为u=f(x,y,在上的三重 积分,其中dV称为体积元素。 2·〖几何意义】∫ja=ha Q的体积 联想:J=b-a--区间[ab的长度 ∫ dxdy= s 平面区域D的面积 概括:「-』12=9的度量 3·〖物理意义】∫/p(xy,)V=Ma Q的质量 〖注】三重积分的性质与二重积分类似,不再详述

一、三重积分的概念 概括： ----------区间[a,b]的长度 ----------的体积 ----------平面区域D的面积 2·〖几何意义〗 的度量 3·〖物理意义〗 --------- 的质量 设 u=f (x, y, z) 在空间闭区域上有界，如果 的极限值I存在，则称I为 u=f (x, y, z) 在上的三重 积分，其中dV 称为体积元素。  = →  =  n i i i i Vi f x y z dV f 1 0 ( , , ) lim ( , , )    =  dV V  = − b a dx b a D D dxdy = S     =   .. 1d   =  (x, y,z)dV M 1·〖定义〗 联想： 〖注〗三重积分的性质与二重积分类似，不再详述

10 例1试在三中坐标系中化三重积分/=(x,y)d为三次积分 Q 其中Ω是由,z=R及==x2+y2所围成的立体。 〖解】由已知两曲面的交线为:Jz=R z=√x2+y 知在XOY面的投影域为:Dn:x2+y2≤R2 在直角坐标系中:=「∫(x,y R R2-x2 0.75 R 在极坐系中:=「 de[ rdr f(rcos 6,rsin:)h0,2 0 在球标系中: 0.5 1 CoSp =「4 jsinpdp∫r( sin o cos 6,rii0, rcoS pp) 0

例1·试在三中坐标系中化三重积分 为三次积分， 其中是由，z=R及 所围成的立体。   I = f (x, y,z)dV 2 2 z = x + y 知在XOY面的投影域为： 2 2 2 Dxy : x + y  R 在直角坐标系中：    − − − − + = R R r x R x R x y I dx dy f x y z dz 2 2 2 2 2 2 ( , , ) 在极坐系中：    =     2 0 0 ( cos , sin , ) R R r I d rdr f r r z dz 在球标系中：    =            2 0 4 0 cos 0 2 sin ( sin cos , sin sin , cos ) R I d d r f r r r dr 〖解〗 由已知两曲面的交线为：     = + = 2 2 z x y z R