河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 多元函数微分法及其应用（8.3）全微分及其应用

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 尊 全微分的定义 可微的杀件 要 点 小结 Http://www.heut.edu.cn

第三节 全微分及其应用 全微分的定义 小结 可微的条件 要 点

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 全微分的定义 由一元函数徼分学中增量与微分的关系得 f(x+△x,y)-f(x,y)≈f(x,y)△x f(x,y+Ay)-f(x,y)f(x, y)Ay 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量对x和对y的偏微分 tt p : // h

f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对x 和对y 的偏微分 二元函数 对x 和对y 的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定全增量的概念 如果函数乙=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有 定义,并设P(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意 点,则称这两点的函数值之差 ∫(x+△x,y+△y)-f(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量△x,Δy的全增 量,记为△乙, 即△z=∫(x+△x,y+△y)-f(x,y) Http://www.heut.edu.cn

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的某邻域内有 定义，并设P(x + x, y + y)为这邻域内的任意 一点，则称这两点的函数值之差 f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y的全增 量，记为z， 即 z= f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 定义3 全增量的概念

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 义全微分的定义 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)的全增量 △z=∫(x+△x,y+△y)-∫(x,y)可以表示为 Δ=AAx+By+0(P),其中A,B不依赖于 △x,而仅与x,y有关,p=△x)2+(y)2, 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分, AAx+B△y称为函数z=f(x,y)在点x,y)的 全微分,记为, 即dz=A△x+B△y Http://www.heut.edu.cn

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y)可以表示为 z = Ax + By + o( )，其中A, B不依赖于 x,y而仅与x, y 有关， 2 2  = (x) + (y) ， 则称函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分， Ax + By称为函数z = f ( x, y )在点(x, y) 的 全微分，记为dz ， 即 dz =Ax + By . 定义4 全微分的定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 函数若在某区域D内各点处处可微分 则称这函数在D内可微分 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)可微分,则 函数在该点连续 事实上Δz=A△x+B△y+0(P),lim△z=0, 0 lim f(x+Ax, y+Ay=limlf(x, y)+Azl >0 △y→>0 f(,y) 故函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续 Http://www.heut.edu.cn

函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则 函数在该点连续. 事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数z = f (x, y)在点(x, y)处连续

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、可微的条件 定理1(必要条件) 如果函数x=f(x,y)在点(x,y)可微分,则 该函数在点(x,y)的偏导数、0必存在,且函 ax a1 数z=f(X,y)在点(x,y)的全微分为 z △x+-△ ax Http://www.heut.edu.cn

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 可微分，则 该函数在点(x, y)的偏导数 x z   、 y z   必存在，且函 数z = f ( x, y)在点(x, y)的全微分为 y y z x x z dz     +   = ． 定理1（必要条件） 二、可微的条件

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分, P(x+△x,y+△y)∈P的某个邻域 △=A△x+BNy+0(0)总成立, 当△y=0时,上式仍成立,此时p=△x f∫(x+△x,y)-f(x,y)=A·△x+0(△x|), f∫(x+△x,y)-∫(x, az m △v ax 同理可得B ay tt p : // h

证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P(x + x, y + y)P 的某个邻域 z = Ax + By + o() 总成立, 当y = 0时，上式仍成立，此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 , x z   = 同理可得 . y z B   =

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 元函数在某点的导数存在<微分存在 多元函数的各偏导数存在<→全微分存在 ry 例如,f(x,)2={∠x2+y2≠0 0 在点(0,0)处有 fx(0,0)=f,(0,0)=0 Http://www.heut.edu.cn

一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y xy f x y 在点(0,0)处有 (0,0) = (0,0) = 0 x y f f

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> △·△ Az-f0,0)·△x+J(0,0)4y △x)2+(4y)2 如果考虑点P(△x,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0), △x·△y 则√(Ax)2+(4y)2 △x·△v (△x)2+(△x)22 说明它不能随着P→>0而趋于0,当p>0时, Az-[fx(0,0)·△x+f(0,0)·4y≠0(P), 函数在点(0,0)处不可微 Http://www.heut.edu.cn

z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x   + y   , ( ) ( ) 2 2 x y x y  +     = 如果考虑点P(x,y)沿着直线y = x趋近于(0,0)， 则  2 2 ( x) ( y) x y  +     2 2 ( x) ( x) x x  +     = , 21 = 说明它不能随着 → 0而趋于 0, 当  → 0 时， z [ f (0,0) x f (0,0) y] o( ),  − x   + y    函数在点(0,0)处不可微

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 说明)多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在, 定理2(光分条件)如果函数z=f(x,)的偏 导:在点(,川连续,则该函数在点x,y) ax ay 可微分 证Δz=∫(X+Δx,y+△y)-∫(x,y) =[f(x+Ax,y+△y)-f(x,y+△y) +[f(x,y+△y)-f(x,y), Http://www.heut.edu.cn

多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数z = f (x, y)的偏 导数 x z   、 y z   在点(x, y)连续，则该函数在点(x, y) 可微分． 证 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = [ f (x + x, y + y) − f (x, y + y)] + [ f (x, y + y) − f (x, y)], 说明 定理 2（充分条件）