河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 空间解析几何与向量代数（7.4）向量的数量积、向量积、混合积

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第四节向量的数量积 只 向量的数量积 向量的向量积 向量的混合积 Http://www.heut.edu.cn

第四节 向量的数量积、 向量积、混合积 向量的数量积 向量的向量积 向量的混合积

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,凼表示位移,则力所作的功为 W=F‖s|cosb 6 (其中为F与的夹角) S 启示)两向量作这样的运算结果是一个数量 Http://www.heut.edu.cn

一物体在常力F  作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s  表示位移，则力F  所作的功为 W | F || s | cos   = 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. F  (其中 为F S  与s 的夹角) 启示 实例 一、两向量的数量积

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定向量a与b的数量积为a·b a·b=@b|cos6(其中为与b的夹角) 6 ·b=l‖b|cos0 16 cos0=Prb, a cose=prjoo d·b=b| Prj, a=| apri,b 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积数量积也称为“点积”、“内积” Http://www.heut.edu.cn

a  b   a b | a || b | cos      = | b | cos Pr j b, a     = | a | cos Pr j a, b    = a b b j ba       =| | Pr | a | Pr j b. a   = 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积.数量积也称为“点积”、“内积”. 向量a 与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = (其中 为a  与b  的夹角) 结论 定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 关于数量积的说明: (1)a·a=a2. 证∵日=0,∷a·a=l‖lcosθ=a2 (2)a·b=0←→⊥b 证(→):a·b=0,|d≠0,|b|≠0, Cos0=0 2 alb (÷):db,6 cos 6=0, 2 n·b=a‖b|cos6=0. Http://www.heut.edu.cn

(2) a  b = 0    a b.   ⊥ () a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,  cos = 0, a b.    ⊥ (1) | | . 2 a a a     = () a b,    ⊥ cos = 0, a  b =| a || b | cos = 0.      = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a      证   =  = 证  = , 2  , 2   = 关于数量积的说明：

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 数量积符合下列运算规律 (1)交换律:a·b=b·G; (2)分配律:(a+b)c=l·c+b·c; (3)若九为数:(4n).b=a(4b)=(a.b) 若九、数:(n)(pb)=4y(a.b) Http://www.heut.edu.cn

（1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =   数量积符合下列运算规律：

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 设a=a、i+an+a.k,b=b、i+b,j+bk J d·b(ai+aj+a2k)·(bi+b,j+b2k) 过与j⊥k,∴i·j=j·k=k·i=0, i|=j=k=1 j·j=k·k=1 i·b=a.b.+a.b.+a.b x y y 2 Z 数量积的坐标表达式 Http://www.heut.edu.cn

a a i a j a k, x y z     = + + b bx i by j bzk     设 = + + a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k  i = 0,       | i |=| j |=| k |= 1,     i  i = j  j = k  k = 1.       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   数量积的坐标表达式

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ·b= a cos 6→c00ab l‖lb btabtab cos= xX a.2+a.2+a.2b.2+b+b 2 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 d⊥b<→a3bx+anbn+a2b2=0 Http://www.heut.edu.cn

a b | a || b | cos      = , | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 例1已知a={1,1,-4},b={1,-2,2},求(1) a·b;(2)a与的夹角;(3)a在b上的投影 解(1)ab=11+1·(-2)+(-4)2=-9 a b tab. ta b (2)c0s6 ZZ 2 2 2 a.2+a+a.2、/b 2 +b2+b 3丌 6= 2 i·b (3)ab=b|Pria Pr Jb"6/3 Http://www.heut.edu.cn

例 1 已知a = {1,1,−4}  ，b = {1,−2,2}  ，求（1） a b    ；（2）a 与b  的夹角；（3）a  在b  上的投影. 解 a b   (1)  = 11+1(−2) + (−4) 2= −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = , 2 1 = − a b b j ba     (3)  =| | Pr 3. | | Pr = −   = b a b j ba      = . 4 3

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2证明向量e与向量(a·c)b-(b·c)l垂直 证I ·cb-(b·cl·c I(a·c)b·d-(b·c)n·d (·b)la·c-l·c 0 (d·cb-(bcd⊥e Http://www.heut.edu.cn

例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a       (  ) − (  ) 垂直. 证 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ] [(a c)b c (b c)a c]         =   −   (c b)[a c a c]       =   −  = 0 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ]⊥

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、两向量的向量积 实例设O为一根杠杆L的支点,有一力F作用 于这杠杆上P点处.力F与OP的夹角为,力 F对支点O的力矩是一向量M,它的模 M|=OQ‖F 6 =OP‖F|sin6 Q M的方向垂直于OP与F所决 定的平面,指向符合右手系 tt p : // h

设O为一根杠杆L 的支点，有一力F  作用 于这杠杆上P 点处．力F  与OP 的夹角为 ， 力 F  对支点O的力矩是一向量M  ，它的模 | M | | OQ || F |   = | OP || F |sin  = M  的方向垂直于OP 与F  所决 定的平面, 指向符合右手系. 实例 L F  P Q O  二、两向量的向量积