高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第五章 定积分的概念 定积分的性质和定积分中值定理 微积分基本公式 ⊙定积分的换元法 ⊙定积分的分部积分法 定积分的近似计算 广义积分 Http://www.heut.edu.cn
第五章 定积分 定积分的概念 定积分的性质和定积分中值定理 微积分基本公式 定积分的换元法 定积分的分部积分法 定积分的近似计算 广义积分
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第一节定积分的概 ●问题提出 ●定积分的定义 存在定理 小结 tt p : // h
第一节 定积分的概念 问题提出 定积分的定义 存在定理 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 问题的提出 实例1(求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y=f() y=∫(x)(∫(x)≥0) A=? x轴与两条直线x=a x=b所围成 Http://www.heut.edu.cn
a b x y o A= ? 曲边梯形由连续曲线 y = f (x)( f (x) 0) 、 x 轴与两条直线x = a 、 x = b所围成. y = f (x) 实例1 （求曲边梯形的面积） 一、问题的提出
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 b x (四个小矩形) (九个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积 Http://www.heut.edu.cn
a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 观察下列演示过程,注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 3个分割点的图示 1.(上和-下和) 1.05556(积分近似值) 播放 Http://www.heut.edu.cn
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 曲边梯形如图所示,在区间[a,b内插入若干 个分点,a=x0<x1<x2<…<xn1<xn=b, 把区间[a,b分成n 个小区间[x1,x 长度为△x1=x1-x1-1; 在每个小区间Ix21,x; 上任取一点5, o a xI x: r: x b 以[x1,x:D底,f(2;)为高的小矩形面积为 f(sAx Http://www.heut.edu.cn
曲边梯形如图所示， , [ , ] 0 1 2 1 a x x x x x b a b 个分点， = n− n = 在区间 内插入若干 a b x y o i i x 1 x i −1 x n−1 x ; [ , ] [ , ] 1 1 − − i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分 成 上任取一点 ， 在每个小区间 i i i x x [ , ] −1 i i i A = f ( )x 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 曲边梯形面积的近似值为 A≈∑f(5)Ax1 当分割无限加细,即小区间的最大长度 =max{△x1,△x2,…△xn} 趋近于零(λ→0)时, 曲边梯形面积为A=lim∑f(5;)x i=1 Http://www.heut.edu.cn
i n i i A f x = ( ) 1 曲边梯形面积的近似值为 i n i i A = f x = → lim ( ) 1 0 趋近于零 时 ， 当分割无限加细 即小区间的最大长度 ( 0) max{ , , } , 1 2 → = n x x x 曲边梯形面积为
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度=v(t)是 时间间隔[T1,T2上的一个连续函数,且 v(t)≥0,求物体在这段时间内所经过的路程 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值 Http://www.heut.edu.cn
（求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t) 是 时间间隔[ , ] T1 T2 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值． 实例2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (1)分割T1=t0 Http://www.heut.edu.cn
（1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = n− n = i = i − i−1 t t t i i i s v( )t 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 i i n i s v t = ( ) 1 （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n = t t t i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0 路程的精确值
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、定积分的定义 定义设函数f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入 若干个分点a=x<x1<x,<…<x,<x=b 把区间a,b分减城个小区间,各小区间的长度依次为 △x;=x1-x1-1,(i=1,2,…),在各小区间上任取 点5;(5∈△x;),作乘积f(5;)△x;(=1,2,…) 并作和S=∑f(5)△x1, i=1 记=max{Ax1,△x2,…,△xn},如果不论对a,b Http://www.heut.edu.cn
设函数 f ( x) 在[a,b]上有界， 记 max{ , , , } 1 2 n = x x x ，如果不论对[a,b] 在[a,b]中任意插入 若干个分点 a x x x x x b = 0 1 2 n−1 n = 把区间[a,b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为 i = i − i −1 x x x ，(i = 1,2, ) ，在各小区间上任取 一点 i （ i i x ），作乘积 i i f ( )x (i = 1,2 , ) 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1 ， 定义 二、定积分的定义