高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 曲线凹凸的定义 曲绲凹凸的判定 曲线的拐点及求法 H tt p /www.heut.edu
第七节 曲线的凹凸与拐点 曲线凹凸的定义 曲线凹凸的判定 曲线的拐点及求法
高数学课趕媒课件 文工大罗理罗即> 、曲线凹凸的定义 B 问题:如何研究曲线的弯曲方向? y=f(r) y=f(r) 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 H tt p /www.heut.edu
问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o x1 x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) x1 x2 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C 一、曲线凹凸的定义
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 定义设f(x)在(a,b内连续,如果对(a,b内任意 两点x1,x2,恒有f( x1+x2f(x1)+f(x2) < 2 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是叫的; 如果对(a,b内任意两点x1,x2,恒有 23)s∫(x1)+f(x2) ,x fo 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是凸的; 如果f(x)在a,b内连续且在(a,b)内的图形是凹 (或凸的那末称f(x)在a,b内的图形是叫或凸的; H tt p /www.heut.edu
定义 ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凹的 两 点 恒 有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b + + ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凸的 如果对 内任意两点 恒 有 f x a b x x f x f x f a b x x + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或 凸的 那末称 在 内的图形是凹或 凸的 如 果 在 内连续 且 在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定 y=f B y=f(r)/B 0 a b r f(x)递增y">0 f(x)递减 0,则f(x)在{a,b上的图形是叫的; (2)f"(x)<0,则f(x)在{a,b上的图形是凸的 H tt p /www.heut.edu
x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b 二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例1判断曲线y=x3的凹凸性 解 3x 6x 0.2 当xQ时,y>0,∴曲线在0,+∞)为凹的; 注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点 H tt p /www.heut.edu
例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 解 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时， y 0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点
高数学课趕媒课件 文工大罗理罗即> 、曲线的拐点及基求法 1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2.拐点的求法 定理2如果f(x)在(x0-8,x0+6)内存在二阶导 数,则点(x0,f(x)是拐点的必要条件是f(x0)=0 证∵f(x)二阶可导,f(x)存在且连续, H tt p /www.heut.edu
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导 数,则点( , ( )) 0 x0 x f 是拐点的必要条件是 ( 0 ) 0 " f x = . 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 f (x) 二阶可导, f (x) 存在且连续, 三、曲线的拐点及其求法
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 又∵:(x,f(x0)是拐点 则∫"(x)=f(x)在x两边变号, ∫(x)在x取得极值,由可导函数取得极值的条件, ∵.∫"(x)=0. 设函数f(x)在x的邻域内二阶可号 且f"(x0)=0 (1)x0两近旁f"(x)变号,点(x,f(x0)即为拐点 (2)x两近旁f”(x)不变号,点(x,f(x1)不是拐点 H tt p /www.heut.edu
( ) [ ( )] , 则 f x = f x 在x0两边变号 ( , ( ) ) , 又 x0 f x0 是拐点 ( ) , f x 在x0取得极值 由可导函数取得极值的条件, f (x) = 0. ( ) , ( ) , 0 0 0 f x = f x x 且 设函数 在 的邻域内二阶可导 (1) ( ) , ( , ( )) ; x0两近旁f x 变号 点 x0 f x0 即为拐点 (2) ( ) , ( , ( )) . x0两近旁f x 不变号 点 x0 f x0 不是拐点
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例2求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及 解凹、凸的区间 D:(-∞,+) y=12x3-12x2,y"=36x(x-5) 令y”=0,得x1=0,x2 2 3 x(-∞,0)0(0, 3 3,+) f(x)四的拐点凸的 拐点 凹的 0,1) 2/11 H tt p /www.heut.edu
例2 . 3 4 1 4 3 凹、凸的区间 求曲线 y = x − x + 的拐点及 解 D :(−,+) 12 12 , 3 2 y = x − x ). 3 2 y = 36x(x − 令y = 0, . 3 2 0, 得 x1 = x2 = x (−,0) , ) 3 2 ) ( + 3 2 0 (0, 3 2 f (x) f (x) + 0 − 0 + 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 (0,1) ) 27 11 , 3 2(
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 1.5 四凸区间为(-∞,1.3,123,+∞) H tt p /www.heut.edu
, ). 3 2 ], [ 3 2 凹凸区间为(−,0], [0, +
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 注意:若∫"(x0)不存在,点(xn,f(x0)也可能 是连续曲线y=∫(x)的拐点 H tt p /www.heut.edu
( ) . ( ) , ( , ( )) 0 0 0 是连续曲线 的拐点 若 不存在 点 也可能 y f x f x x f x = 注意: