高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第三节泰勒中值定 问题的提出 Pn和R的确定 泰勒( Taylor)中值定理 麦克劳林 Maclaurin)公式 简单的应用 小结 Http://www.heut.edu.cn
第三节 泰勒中值定理 问题的提出 Pn和Rn的确定 泰勒(Taylor)中值定理 麦克劳林(Maclaurin)公式 简单的应用 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 一、问题的提出 设f(x)在x处连续,则有 f∫(x)≈∫(x) Lf()=f(xo)+a] 2.设f(x)在x处可导,则有 f(x)≈f(x0)+∫(x0)(x-x0) If(x)=f(x)+f(x0)(x-x0)+0(x-x0 例如,当x很小时,e≈1+x,In(1+x)≈x (如下图) Http://www.heut.edu.cn
1.设 f (x)在 0 x 处连续,则有 2.设 f (x)在 0 x 处可导,则有 例如, 当 x 很小时, e x x 1 + , ln(1 + x) x [ f (x) = f (x0 ) + ] [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f − + − （如下图） ( ) ( ) 0 f x f x ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x f x + f − 一、问题的提出
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> In(1+x =1+ Http://www.heut.edu.cn
x y = e y = 1+ x o x y = e o y = x y = ln(1 + x)
高数课程妥媒血课件 镭理工大理隙>> 不足:1、精确度不高;2、误差不能估计。 问题:寻找函数P(x),使得f(x)≈P(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计 设函数f(x)在含有x0的开区间a,b)内具有直到 (n+1)阶导数,P(x)为多项式函数 x=do+ alx-rotax-xo+.+ax-x 0 误差Rn(x)=f(x)-P(x) tt p : // h
寻找函数P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计。 设函数 f ( x)在含有x0的开区间(a,b) 内具有直到 (n + 1)阶导数,P(x)为多项式函数 n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x )0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n 不足: 问题:
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、Pn和Rn的确定 析 分近似程度越来 1若在x0点相交 )=f(x0) 度‖2若有相同的切线 (x0)=f'( 好 3若弯曲方向相同 x)=f"(x0) Http://www.heut.edu.cn
x0 y = f (x) o x y ( ) ( ) 0 x0 P x f n = ( ) ( ) 0 x0 P x f n = ( ) ( ) 0 x0 P x f n = 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在 x0 点相交 分析: 二、Pn和Rn的确定
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 假设P(x0)=f(x)k=1,2,…,n an=f(x),1·a=f(x),2!a2=f(x) (n) 得a=,f(x)(k=0,1,2,…,n) ! 代入P(x)中得 Pn(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ f"(x 十 2! 0 Http://www.heut.edu.cn
假设 P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = = ( ), 0 x0 a = f 代入P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + = + − + 得 ( ) ( 0,1,2, , ) ! 1 0 ( ) f x k n k a k k = = 1 ( ), 1 x0 a = f 2! ( ) 2 x0 a = f , ! ( )0 ( ) n a f x n n =
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 泰勒( Taylor)中值定理 泰勒( Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有x的 某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则当 x在(a,b)内时,∫(x)可以表示为(x-x0)的一 次多项式与一个余项Rn(x)之和: f(x)=f(x0)+∫(x)(x-x0)+ f"(x0) 2 0 0(x-x0)”+R,(x) (n+1 其中R,(x)= (x-x0)在x号之间) 十 Http://www.heut.edu.cn
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f (x) 在含有x0的 某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数,则当 x在(a,b)内 时, f (x) 可以表示为( ) x − x0 的一个n 次多项式与一个余项R (x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在x0与x 之间). 三、泰勒(Taylor)中值定理
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证明:由假设,R(x)在(a,b)内具有直到n+1阶 导数,且 RGO=R(Xo)=Rn(o) (x0)=0 两函数Rn(x)及(x-x0)在以x及x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 R,(x) R, (x)-r,o n+1 n+1 x- x-x 0 Rn(51 (n+1)(点1-x(在x与x之间 tt p : // h
证明: 由假设,R (x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1)阶 导数,且 两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在 以 0 x 及 x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( ) ( 1)( ) ( ) 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n + − = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n n
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 两函数Rn(x)及(n+1)(x-x0)”在以x0及51为端 点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 Rn(51) RI(5)-RHCo) (n+1)(1-x0)”(n+1)(51-x0)”-0 Rn(2) n(n+1)(2-x) (2在x0与5之间) 如此下去,经过(+1次后,得 R, (x) Ro+t(S) n11 n (在x0与5之间,也在x与x之间) Http://www.heut.edu.cn
如此下去,经过(n + 1)次后,得 两函数R (x) n 及 n (n 1)(x x ) + − 0 在 以 x0及 1 为 端 点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − n n n n n n x R R x n x R ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n R x x R x n n n n (在x0与 n之 间,也在x0与 x之间) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 在 与 之间 x n n x R n n − + − =
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> n(x)=0, R"+(x)=f"+(x) 则由上式得 (n+1 R,(x= () (x-x0)(在x0与x之间) n Pn(x)=∑ ∫()(x(x-x)4 k=0 K! 称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n次近似多项式 f(x)=∑ f(o) k=0(x-x0)2+Rn(x) 称为∫(x)按(x-x)的幂展开的n阶泰勒公式 Http://www.heut.edu.cn
= = − n k k k n x x k f x P x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 次近似多项式 = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 阶泰勒公式 ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n + + − + = 则由上式得( ) 0, ( 1) = + P x n n ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + =