高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 第六节极限的法则 ●极限的运算法则 求极限方法举例 H tt p /www.heut.edu
第六节 极限的运算法则 极限的运算法则 求极限方法举例
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 极限运算法则 定理设limf(x)=A,img(x)=B,则 (1)lim[f(x)±g(x)=A±B; (2)im[∫(x)·g(x)=A·B; f(x)A (3) lim 其中B≠0 g(x) B 证∴limf(x)=A,limg(x)=B. ∴∫(x)=A+α,g(x)=B+β.其中α→>0,β-0 由无穷小运算法则得 H tt p: //
定理 , 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim[ ( ) ( )] ; (1) lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , = = = = = B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其中 设 则 证 lim f ( x) = A, lim g( x) = B. f ( x) = A + , g( x) = B + . 其 中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得 一、极限运算法则
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> I∫(x)±g(x)-(A±B)=α±β→0.∴(1)成立 I∫(x)·g(x)-(A·B)=(4+c)(B+β)-AB =(AB+Bo)+aβ→>0 (2)成立 f∫(x)AA+0ABo-AB 8(x)BB+βBB(B⊥∵Bα-AB→0. 又:B→0,B≠0,彐δ>0,当0B B B 2 2 2 H tt p /www.heut.edu
[ f ( x) g( x)] − (A B) = → 0. (1)成 立. [ f ( x) g( x)] − (A B) = (A + )(B + ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成 立. B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( + ) − = B B B A B − A → 0. 又 →0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B + B − B B 2 1 − B 2 1 =
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 2 B(B+B)>B2,故 2 B(B+B)B2 有界, ∴(3)成立. 推论1如果lmf(x)存在,而c为常数,则 limcf(x)=clim f(x). 常数因子可以提到极限记号外面 推论2如果lmf(x)存在,而n是正整数,则 limlf(x)=lim f(x)l H tt p /www.heut.edu
推论1 lim[ ( )] lim ( ). lim ( ) , , cf x c f x f x c = 如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. lim[ ( )] [lim ( )] . lim ( ) , , n n f x f x f x n = 推论2 如果 存在 而 是正整数 则 , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成 立
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 注!板限的运算法则仅造希 1 2 例求lm(2+2+…+"2) n→on n-e +lim.2 ≠lim +∴+im 0+0++0=0 先变形再求极 喔 1+2+…+ lim(2+-2+…+-2)=lim n→0 n→o n(n+1) =lim-(1+-) n→0 n→0 2 Http://www.heut.edu
极限的运算法则仅适合 于有限项 例 ). 1 2 lim( 2 2 2 n n n n n + + + → 求 0 0 ... 0 0 lim 2 lim 1 lim 2 2 2 = + + + = + + + → → → n n n n n n n 2 2 2 2 1 2 ) lim 1 2 lim( n n n n n n n n + + + + + + = → → 2 ( 1) 2 1 lim n n n n + = → ) 1 (1 2 1 lim n n = + → . 2 1 = 先变形再求极限. 注 意
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 二、求极限方法举例 1 例1求l n 2 2 3x+5 解 lim(x-3x +5)=lim x-lim 3x+ lim 5 2 →2 x→2 =(lim x)"-3lim x +lim 5 22-3.2+5=3≠0, x-1 lim x-lim 1 lim x→2 x→2 23-17 2x2-3x+5lim(x2-3x+5) 3 x→2 H tt p: //
例1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim 3 lim 5 2 2 2 → 2 → → = − + x x x x x (lim ) 3 lim lim 5 2 2 2 → 2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 3 5) lim lim 1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = 3 2 1 3 − = 二、求极限方法举例
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 小结 1.设∫(x)=a0x"+a1x"-1+…+an,则有 lim f(x)=ao (lim x)+a,(lim x)+.+a +a1x0+…+Gf(x0 2设f(以(x)且(x)≠0,则有 e(x) Iim∫(x)= lim P(x) P(xo)=f(xo). x→x0 lim e(x)2(o) 若Q(x0)=0,则商的法则不能应用 H tt p: //
1. 设 f ( x) = a0 x n + a1 x n−1 + + an ,则 有 n n x x n x x x x f x = a x + a x + + a − → → → lim ( ) 0 (lim ) 1 (lim ) 1 0 0 0 n n n = a x + a x + + a − 1 0 0 1 0 ( ). 0 = f x 设 , 且 ( ) 0, 则 有 ( ) ( ) 2. ( ) = Q x0 Q x P x f x lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 Q x P x f x x x x x x x → → → = ( ) ( ) 0 0 Q x P x = ( ). 0 = f x ( ) 0, . 若Q x0 = 则商的法则不能应用 小结
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例2求lm 4.x-1 2 x→1x2+2x-3 解lim(x2+2x-3)=0,商的法则不能用 叉:lim(4x-1)=3≠0,先求其倒数的 x+2x-30 0. x→14x-1 由无穷小与无穷大的关系,得 4x-1 lim 2 +2x-3 H tt p /www.heut.edu
解 lim( 2 3) 2 1 + − → x x x = 0, 商的法则不能用 lim(4 1) 1 − → x x 又 = 3 0, 4 1 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 0. 3 0 = = 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 . 2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x x 求 . 2 3 4 1 lim 2 1 = + − − → x x x x 先求其倒数的极限
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> x2-1 例3求lm=2 x→1x2+2x-3 解x→时,分子,分母的极限都是零 0 型) 0 先约去不为零的无穷小子x-1后再求极限 x2-1_1(x+1) in x→1x+2x-3x→1(x+3)(x-1) x+11 lim (消去零因子法) x→1x+32 H tt p /www.heut.edu
解 例3 . 2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x x 求 x → 1时,分 子,分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子x −1后再求极限. ( 3)( 1) ( 1)( 1) lim 2 3 1 lim 1 2 2 1 + − + − = + − − → → x x x x x x x x x 3 1 lim 1 + + = → x x x . 2 1 = ) 0 0 ( 型 (消去零因子法)
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 3 0 例4lim 型 2 9 0 x→>3X 解先约去不为零的无3再求极 3 3 0 x→3x+36 (消去零因子法) H tt p /www.heut.edu
解 先约去不为零的无穷小 因子x−3后再求极限. 3 1 lim 3 + = x → x . 6 1 = ) 0 0 ( 型 (消去零因子法) 9 3 lim 2 3 − − → x x x 9 3 lim 2 3 − − → x x x 例4