《高等数学》课程教学资源：数量积向量积混合积

第四节数量积向量积混合积 一、两向量的数量积 嘠二、两向量的向量积 向量的混合积 四、小结思考题

生-、两向量的数量积 c实例一物体在常勇作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力所作的功为 W=|F|cos(其怕乓的夹角) 启示两向量作这样的运算,结果是一个数量 工工工 定义向量的数量积为a·b d·b=a‖!b|cosθ(其啪为屿的夹角) 上页

一物体在常力F  作用下沿直线从点M1 移动 到点M2 ，以s  表示位移，则力F  所作的功为 W | F | | s | cos   = (其中 为F  与s  的夹角) 启示 向量a  与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = (其 中 为a  b与  的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 一、两向量的数量积

·b=4lb|cos6 1b cos0=Prjb, al cose=Pr jba, d·b=b|Pria=|4|Prjb 结论两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积 牛数积也称为“点积”、“内积” 上页

a  b   a b | a ||b | cos      = | b | cos Pr j b, a     = | a | cos Pr j a, b    = a b b j ab       =| | Pr | a | Pr j b. a   = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积

关于数量积的说明: aa=al 证∵=0,∴a,a=a‖lcos=|2 (2)ab=0←→a⊥b 证(→)a,b=0,1a≠=0,1b≠0, 工工工 c0sb=0,=“,∴a⊥b 2 (←)∵a⊥b,∴6= ∴cosb=0. 2 d·b=|bcos6=0. 上页

关于数量积的说明： (2) a b = 0    a b .   ⊥ () a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,   cos = 0, a b .    ⊥ (1) | | . 2 a a a     = () a b ,    ⊥  cos = 0, a b =| a ||b | cos = 0.      = 0, | | | | cos | | . 2 a a a a a      证   =  = 证  = , 2  , 2   =

数量积符合下列运算规律 (1)交换律:a·b=b·a; (2)分配律:(a+b)c=a·c+bc; (3)若为数:(a)·b=a·(b)=(a·b), 工工工 若λ、/数:(n)·(b)=Ay(a.b) 上页

数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =  

it a=aita+ak, b=bi+bj+bk n·b元(a1+an+a2k)(b+b,j+b:k) 过k,∴·j=jk=k,i=0 iikE,,, j·j=k·k=1. a·b=abx+a,by+a2b 数量积的坐标表达式 上页

a a i a j a k, x y z     = + + b b i b j b k x y z     设 = + + a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k i = 0,       | i |=| j |=| k |=1,     i i = j  j = k  k = 1.       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   数量积的坐标表达式

a·b n·b=a|!b|cosb→cos0= La b b+ ta b Cos0= 2 2 2 6-+b+b 2 a.+a+ 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 dLb←→a、b +a.b.+ab.=0 yJ 上页

a b | a ||b | cos      = , | | | | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b    + + = 0 x x y y z z a b a b a b 由此可知两向量垂直的充要条件为

例1已知a={1,1,-4},b={1,-2,2},求(1) d·b;(2防与的夹角;《3)b在上的投影 解(1)a·b=1·1+1·(-2)+(-4)·2=-9 十a b b (2)c0sb= r x 4 Z 2 2 vax +a, +a b.2+b2+b J 3元 一 ∴ 2 4 (3)a·b=b| Pr:. Pr j,a= b =-3 b 上页

例 1 已知a = {1,1,−4}  ，b = {1,−2,2}  ，求（1） a b    ；（2）a  b与  的夹角；（a 3）  b 在  上的投影. 解 a b   (1)  = 11 + 1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = , 2 1 = − a b b j ab     (3)  =| | Pr 3. | | Pr = −   = b a b j ab      = . 4 3

例2证明向量与向量(a.c)b-(b·c)d垂直 证I(a·c)b-(b·c)l =I(a·c)bc-(b·c)a·dl =(c·b川a·c-a·dl =0 I(a·c)b-(b·c)ilc 上页

例 2 证明向量c  与向量 a c b b c a       (  ) − (  ) 垂直. 证 a c b b c a c        [(  ) −(  ) ] [(a c)b c (b c)a c]         =   −   (c b)[a c a c]       =   −  = 0 a c b b c a c        [(  ) −(  ) ]⊥

生三、两向量的向量积 实例设O为一根杠杆的支点,有F力作用 于这杠杆上P点处.与O的夹角为,力 F对支点的力矩是一向量,它的模 F M|=|og‖!F 6 L =OP ISin 6 O M的方向垂直于OP所决 定的平面,指向符合右手系. 上页

设O 为一根杠杆L 的支点，有一力F  作 用 于这杠杆上P 点处．力F  与 OP 的夹角为  ， 力 F  对支点O 的力矩是一向量M  ，它的模 | M | | OQ | | F |   = | OP | | F |sin  = M  的方向垂直于OP F与  所 决 定的平面, 指向符合右手系. 实例 二、两向量的向量积 L F  P Q O 