第四节数量积向量积混合积 一、两向量的数量积 嘠二、两向量的向量积 向量的混合积 四、小结思考题
生-、两向量的数量积 c实例一物体在常勇作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力所作的功为 W=|F|cos(其怕乓的夹角) 启示两向量作这样的运算,结果是一个数量 工工工 定义向量的数量积为a·b d·b=a‖!b|cosθ(其啪为屿的夹角) 上页
一物体在常力F 作用下沿直线从点M1 移动 到点M2 ，以s 表示位移，则力F 所作的功为 W | F | | s | cos = (其中 为F 与s 的夹角) 启示 向量a 与b 的数量积为a b a b | a || b | cos = (其 中 为a b与 的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 一、两向量的数量积
·b=4lb|cos6 1b cos0=Prjb, al cose=Pr jba, d·b=b|Pria=|4|Prjb 结论两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积 牛数积也称为“点积”、“内积” 上页
a b a b | a ||b | cos = | b | cos Pr j b, a = | a | cos Pr j a, b = a b b j ab =| | Pr | a | Pr j b. a = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积
关于数量积的说明: aa=al 证∵=0,∴a,a=a‖lcos=|2 (2)ab=0←→a⊥b 证(→)a,b=0,1a≠=0,1b≠0, 工工工 c0sb=0,=“,∴a⊥b 2 (←)∵a⊥b,∴6= ∴cosb=0. 2 d·b=|bcos6=0. 上页
关于数量积的说明： (2) a b = 0 a b . ⊥ () a b = 0, | a | 0, | b | 0, cos = 0, a b . ⊥ (1) | | . 2 a a a = () a b , ⊥ cos = 0, a b =| a ||b | cos = 0. = 0, | | | | cos | | . 2 a a a a a 证 = = 证 = , 2 , 2 =
数量积符合下列运算规律 (1)交换律:a·b=b·a; (2)分配律:(a+b)c=a·c+bc; (3)若为数:(a)·b=a·(b)=(a·b), 工工工 若λ、/数:(n)·(b)=Ay(a.b) 上页
数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a; = （2）分配律： (a b) c a c b c; + = + （3）若 为数： ( a) b a ( b) (a b), = = 若 、 为数： ( a) ( b) (a b). =
it a=aita+ak, b=bi+bj+bk n·b元(a1+an+a2k)(b+b,j+b:k) 过k,∴·j=jk=k,i=0 iikE,,, j·j=k·k=1. a·b=abx+a,by+a2b 数量积的坐标表达式 上页
a a i a j a k, x y z = + + b b i b j b k x y z 设 = + + a b = (a i a j a k) x y z + + (b i b j b k) x y z + + i j k, ⊥ ⊥ i j = j k = k i = 0, | i |=| j |=| k |=1, i i = j j = k k = 1. x x y y z z a b = a b + a b + a b 数量积的坐标表达式
a·b n·b=a|!b|cosb→cos0= La b b+ ta b Cos0= 2 2 2 6-+b+b 2 a.+a+ 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 dLb←→a、b +a.b.+ab.=0 yJ 上页
a b | a ||b | cos = , | | | | cos a b a b = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b + + = 0 x x y y z z a b a b a b 由此可知两向量垂直的充要条件为
例1已知a={1,1,-4},b={1,-2,2},求(1) d·b;(2防与的夹角;《3)b在上的投影 解(1)a·b=1·1+1·(-2)+(-4)·2=-9 十a b b (2)c0sb= r x 4 Z 2 2 vax +a, +a b.2+b2+b J 3元 一 ∴ 2 4 (3)a·b=b| Pr:. Pr j,a= b =-3 b 上页
例 1 已知a = {1,1,−4} ，b = {1,−2,2} ，求（1） a b ；（2）a b与 的夹角；（a 3） b 在 上的投影. 解 a b (1) = 11 + 1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = , 2 1 = − a b b j ab (3) =| | Pr 3. | | Pr = − = b a b j ab = . 4 3
例2证明向量与向量(a.c)b-(b·c)d垂直 证I(a·c)b-(b·c)l =I(a·c)bc-(b·c)a·dl =(c·b川a·c-a·dl =0 I(a·c)b-(b·c)ilc 上页
例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a ( ) − ( ) 垂直. 证 a c b b c a c [( ) −( ) ] [(a c)b c (b c)a c] = − (c b)[a c a c] = − = 0 a c b b c a c [( ) −( ) ]⊥
生三、两向量的向量积 实例设O为一根杠杆的支点,有F力作用 于这杠杆上P点处.与O的夹角为,力 F对支点的力矩是一向量,它的模 F M|=|og‖!F 6 L =OP ISin 6 O M的方向垂直于OP所决 定的平面,指向符合右手系. 上页
设O 为一根杠杆L 的支点，有一力F 作 用 于这杠杆上P 点处．力F 与 OP 的夹角为 ， 力 F 对支点O 的力矩是一向量M ，它的模 | M | | OQ | | F | = | OP | | F |sin = M 的方向垂直于OP F与 所 决 定的平面, 指向符合右手系. 实例 二、两向量的向量积 L F P Q O
