第七节广义积分 巴一、无穷限的广义积分 巴二、无界函数的广义积分 巴三、小结思考题
压-无穷限的广义积分 定义1设函数f(x)在区间a,+∞)上连续,取 b>n,如果极限mmf(x)存在,则称此极 →+ 限为函数∫(x)在无穷区间a,+)上的广义积 工工工 分,记作f(x)d + 。f(x)dx=limf(x)d 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页
定 义 1 设函数f ( x) 在区间[a,+ ) 上连续，取 b a ，如果极限 → + b b a lim f ( x )dx 存在，则称此极 限为函数 f ( x) 在 无 穷 区 间[a,+ ) 上 的 广 义 积 分，记作 + a f ( x )dx . + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 一、无穷限的广义积分
c类似地,设函数(x)在区间-b上连续,取 主"“,如果椒[!(你春在,则称此极 限为函数f(x)在无穷区间-b上的广义积 b 午分,记作(x) b f(x)dx=limf(x)dx a→-00 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页
类似地，设函数f ( x) 在区间(− , b] 上连续，取 a b ，如果极限 → − b a a lim f ( x )dx 存在，则称此极 限 为 函 数 f ( x) 在 无 穷 区 间(− , b] 上 的 广 义 积 分，记作− b f ( x )dx . − b f (x)dx →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
设函数f(x)在区间(∞,+∞)上连续,如果 上广义积分」∫(x)和「∫(x)都收敛,则 称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 王(a+上的广义积分,记作() 工工工 0 + f(x)dx= f(x)dx+ff(x)dx lim f(x)dx+ lim f(x)dx a→)-0·a b→+∞00 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散
设函数 f ( x) 在 区间(− ,+ ) 上 连续 ,如 果 广 义 积 分 − 0 f ( x )dx 和 + 0 f ( x )dx 都 收 敛 ， 则 称上述两广义积分之和为函数f ( x) 在无穷区间 (− ,+ ) 上的广义积分，记作 + − f ( x )dx . + − f ( x)dx − = 0 f ( x)dx + + 0 f (x)dx →− = 0 lim ( ) a a f x dx →+ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散
例1计算广义积分 dx ∞1+x2 y f(x) 1+ 10 10 上页 圆
例1 计算广义积分 . 1 2 + − + x dx
解:」 dx 0 dx + dx 1 2 2 十x +x2101+x2 0 b m i dx tlim a→-0 1+x 0 2 b→》+ lim arctan xla lim arctan x Jo a→-0 b→)+∞ =-lim arcta na+ lim arctan T T T 2)2 上页
+ − + 2 1 x d x − + = 0 2 1 x d x + + + 0 2 1 x d x + = →− 0 2 1 1 lim a a d x x + + →+ b b d x x 0 2 1 1 lim 0 lim arctan a a x →− = b b arctan x 0 lim →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2 = + = − − 解:
例2计算广义积分2sn 解 sindh- p+,1,1 sIn—d 元x b b = lim[ sind limits b→+J2 rx b→ lim i cos--cOS b→+ b 2 上页
例2 计算广义积分 解 . 1 sin 1 2 2 + dx x x + 2 1 sin 1 2 dx x x + = − 2 1 1 sin x d x = − →+ b b x d x 2 1 1 lim sin b b x = →+ 2 1 lim cos = − →+ 2 cos 1 lim cos b b =1
例3证明广义积分当>1时收敛, c当p≤1时发散 证()p=1 +oO dx P 1 dx=[nxl°=+o 1-p + ∞,P1 A因此当P>1时广义积分收敛,其值为 P 当P≤1时广义积分发散 上页
例 3 证明广义积分 + 1 1 dx x p 当p 1 时收敛， 当 p 1时发散. 证 (1) p = 1, + 1 1 d x x p + = 1 1 d x x + = 1 ln x = +, (2) p 1, + 1 1 d x x p + − − = 1 1 1 p x p − + = , 1 1 1 , 1 p p p 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ； 当 p 1时广义积分发散
例4证明广义积分c四女学>0时收敛, 当P+ P -p >0 b→+o p 0时收敛,当<0时发散 上页
例 4 证明广义积分 + − a p x e dx 当p 0 时收敛， 当 p 0 时发散. 证 + − a px e dx − →+ = b a px b lim e dx b a px b p e = − − →+ lim = − − − →+ p e p e pa pb b lim = − , 0 , 0 p p p e ap 即 当 p 0 时收敛，当p 0 时发散
生二、无界函数的广义积分 定义2设函数f(x)在区闻,b上连续,而在 点的右邻域内无界.取6>0,如果极限 cimf(x)存在,则称此极限为函数(x) E→+ b 工工工 在区间an上的广义积分,记作(x) b f(x)dx=lim f(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页
定 义 2 设函数f ( x) 在区间(a, b] 上连续，而在 点a 的 右 邻 域 内 无 界 ． 取 0 ， 如 果 极 限 → + + b a f x dx lim ( ) 0 存在，则称此极限为函数f ( x) 在区间(a, b] 上的广义积分，记作 b a f ( x )dx . b a f (x)dx →+ + = b a f x dx lim ( ) 0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 二、无界函数的广义积分