Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 第二章 Fourier分析 J. Fourier1807年提出周期函数可表为三角级数的和随后,关于 Fourier级数以及 Fourier积 分的理论逐步建立. Fourier变换得到了广泛的应用。 在第一节中将介绍Ⅰ1与L2中 Fourier变换与逆变换及其性质。第二节是关于 Heisenberg不 确定性原理,并证明函数在时域与频域内不可能同时有紧支集。第三节将介绍时不变系统并 引入滤波的概念。将解释支集的大小与分辨率的关系。第四节是取样定理的简单介绍。第 五节是关于 Fourier级数。第六节将引入离散 Fourier变换及快速 Fourier变换。第七节介绍窗 口 Fourier变换及其重构。第八节是关于离散窗口 Fourier变换问题,将讨论离散化步长与框 架之间的关系 1 Fourier变换的定义及性质 定义:设∫∈L1(Rn), ourier积分 f(te dt 对任意的u∈Rn收敛,我们称它为f在u处的 Fourier变换,并记为f(u) 定理1( Riemann- Lebesgue引理):若∫∈L(R),则∫(u)连续,且当→+∞时,f(u)→0 证明:(仅对n=1)(1)f(u)连续。对ve>0,由于f∈L,彐N>0使 If(t)ldt 从而 I f(w+h)-f(w) ≤∫|e-a+b)-e-ilf(t)dt∫|e-a+b)-e-if(t)dt <2.E+ e-(+)-e-f(O)t 但当团≤N时,有 e-i+h)-e-出|=|e--11≤2tu≤2Nh 因此,只要h充分小,必有 I f(w+h)-f(w)1<5+2NIhl/If(t)ldt 故∫(u)连续
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 1 第二章 Fourier 分析 J. Fourier 1807年提出周期函数可表为三角级数的和. 随后, 关于Fourier级数以及Fourier积 分的理论逐步建立. Fourier变换得到了广泛的应用。 在第一节中将介绍L 1与L 2中Fourier变换与逆变换及其性质。第二节是关于Heisenberg 不 确定性原理，并证明函数在时域与频域内不可能同时有紧支集。第三节将介绍时不变系统并 引入滤波的概念。将解释支集的大小与分辨率的关系。第四节是取样定理的简单介绍。第 五节是关于Fourier级数。第六节将引入离散Fourier 变换及快速Fourier变换。第七节介绍窗 口Fourier变换及其重构。第八节是关于离散窗口Fourier变换问题，将讨论离散化步长与框 架之间的关系。 1 Fourier变换的定义及性质 定义: 设f ∈ L 1 (R n ), Fourier积分 Z Rn f(t)e −iωtdt 对任意的ω ∈ R n 收敛, 我们称它为f在ω处的Fourier变换,并记为 ∧ f(ω). 定理1(Riemann-Lebesgue引理): 若f ∈ L 1 (R n ), 则 ∧ f(ω)连续, 且当|ω| → +∞时, ∧ f(ω) → 0. 证明: (仅对n=1) (1) ∧ f(ω)连续。对∀ε > 0, 由于f ∈ L 1 , ∃N > 0 使 Z |t|≥N |f(t)|dt < ² 4 从而 | ∧ f(ω + h) − ∧ f(ω)| ≤ R |t|≥N |e −it(ω+h) − e −itω||f(t)|dt + R |t|≤N |e −it(ω+h) − e −itω||f(t)|dt < 2 · ε 4 + R |t|≤N |e −it(ω+h) − e −itω||f(t)|dt. 但当|t| ≤ N时,有 |e −it(ω+h) − e −itω| = |e −ith − 1| ≤ 2|tω| ≤ 2N|h|. 因此,只要|h|充分小, 必有 | ∧ f(ω + h) − ∧ f(ω)| < ε 2 + 2N|h| Z R1 |f(t)|dt < ε 故 ∧ f(ω)连续
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai, 2005 2 (2)次证f(u)→0当同→+∞(另证,见邓.101),我们有 I f(w)l ≤∫o)at+re-er(o e-ituf(t)dt 取g∈C(+≤N)使f-(gn)0),并 定义 I(t 由 Fubini定理,先关于u积分,有 Ie(t) 因()ee≤f()且何可积,由控制收敛定理,有 limIe(t)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 2 (2) 次证 ∧ f(ω) → 0当|ω| → +∞(另证,见邓.101), 我们有 | ∧ f(ω)| ≤ R |t|≥N |f(t)|dt + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R |t|≤N e −itωf(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0), 并 定义 I²(t) = 1 2π Z µZ f(u)e −² 2ω 2/4 e iω(t−u) du¶ dω. 由Fubini定理，先关于u积分，有 I²(t) = 1 2π Z ˆf (ω) e −² 2ω 2/4 e iωtdω 因 ¯ ¯ ¯ ˆf (ω) e −² 2ω 2/4 e iωt ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ˆf (ω) ¯ ¯ ¯ 且 ˆf可积，由控制收敛定理，有 lim²→0 I²(t) = 1 2π Z ˆf(ω)e iωtdω
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 另一方面,由 Fubin定理,先关于u积分,有 Ie(t)=/ge(t-u)f(u)du 其中 (t) (练习:91()=e.由9()=(e-1),且∫(t)t=1,故L(t)→f(t)在D()(自 证)) 定理3(卷积):设f,h∈L(R).则g=h*f∈L1且 0(u)=h(u)f(u) 证:由定义 )=/-(/-=)) 因|f(t-)h(u)在R2上可积,由 Fubini定理和变量替换(t,u)→(v=t-u,u)得 g(w)=fei( f(u)h(u)dudu =(∫e-f(v)dt)(∫e-(u)dn) Table1: Fourier变换表: 逆f() f(-u) 卷积(1*f2)(u) 乘积f()2()是(1*)(a) 平移|f( 调制ef(t)f(u-) 尺度|∫(/s)|sf( 我们将主要在L2(R)中讨论小波,为此需要讨论这类函数的 Fourier变换 设f∈L1∩L2,则我们有 定理4 1).( Parseval等式)设f,g∈L2(R)∩L(),则 ,9)=(2n)-(,9)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 3 另一方面，由Fubini定理，先关于ω积分，有 I²(t) = Z g²(t − u)f(u)du 其中 g²(t) = 1 2π Z e itωe −² 2ω 2/4 dω （练习：g1(t) = √ 1 π e −t 2 . 由g²(t) = ² −1 g1(² −1 t)，且 R g1(t)dt = 1，故I²(t) → f(t) 在L 1 (R)（自 证）). 定理3（卷积）: 设f, h ∈ L 1 (R n ). 则g = h ∗ f ∈ L 1且 gˆ(ω) = hˆ(ω) ˆf(ω) 证：由定义 gˆ(ω) = Z e −itω µZ f(t − u)h(u)du¶ dt. 因|f(t − u)h(u)|在R2上可积，由Fubini定理和变量替换(t, u) → (v = t − u, u)得 gˆ(ω) = R R e −i(u+v)ω f(u)h(u)dudv = (R e −ivωf(v)dv)(R e −iuωh(u)du). Table 1: Fourier变换表: f(t) ˆf(ω) 逆 ˆf(t) 2πf(−ω) 卷积 (f1 ∗ f2)(t) ˆf1(ω) ˆf2(ω) 乘积 f1(t)f2(t) 1 2π ( ˆf1 ∗ ˆf2)(ω) 平移 f(t − u) e −iuw ˆf(ω) 调制 e iξtf(t) ˆf(ω − ξ) 尺度 f(t/s) |s| ˆf(sω) 我们将主要在L 2 (R n )中讨论小波，为此需要讨论这类函数的Fourier变换。 设f ∈ L 1 ∩ L 2，则我们有 定理4： 1).（Parseval 等式）设f, g ∈ L 2 (R n ) ∩ L 1 (R n )，则 hf, gi = (2π) −n D ˆf, gˆ E
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 2).( Plancherel公式 ‖f‖=(2x) 证:置h=∫*9,其中9(t)=9(-1)。由卷积性质得 h()=f(u)·9(u) 将重构公式应用于h(0)得 f((t=h()=(2r)-/h(u)du=(2r)-(,9 设∫∈L2(R),下面我们定义它的 Fourier变换,并寻找f(u)的表达式。作球{≤N}的 特征函数 xN(t) 1,|≤N, 0,|>N. 则显然有N=XMf∈L∩D2而且/N-f2→0(N→∞) 因此,由 Plancherel公式,得: fN,→0,(N,N→∞) 由L2(R)的完备性,存在g∈L2,使得 fN→g 定义g为f,则因f∈L1,所以 e- f(t)dt 故在L2中,有 f(u)=lim/e-ituf()dt ≤N 例:设∫()=e-2,求f(u) 显然f^(a)=JNee-dt满足微分方程2/()+uf()=0.所以f()=Ke-/, 又f(0)=√亓,故f(u)=√e-/4 关于函数的正则性与它的 Fourier变换大小的关系,前面已经说明f∈L时,它的 Fourier变 换为连续函数,且在无穷远处为0.反之,我们有 定理5若s|)+b<+x,则∫及其直到次导数连续有界 证:因F(f()(t)=(u)f(u),由此推得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 4 2).（Plancherel 公式） kfk = (2π) − n 2 ° ° ° ˆf ° ° ° . 证：置h = f ∗ g ∼ , 其中g ∼ (t) = g(−t)。由卷积性质得 hˆ(ω) = ˆf(ω) · gˆ ∼ (ω) 将重构公式应用于h(0)得 Z f(t)g(t)dt = h(0) = (2π) −n Z hˆ(ω)dω = (2π) −n ¿ ˆf, gˆ ∼ (ω) À . 设f ∈ L 2 (R n )，下面我们定义它的Fourier变换，并寻找 ˆf(ω)的表达式。作球{|t| ≤ N} 的 特征函数 χN (t) = ( 1, |t| ≤ N, 0, |t| > N. 则显然有fN = χN f ∈ L 1 ∩ L 2 而且kfN − fkL2 → 0 (N → ∞) 因此，由Plancherel 公式，得： ° ° °fcN − fcN0 ° ° ° L2 → 0,(N, N0 → ∞) 由L 2 (R n )的完备性，存在g ∈ L 2，使得 ∧ fN → g 定义g为 ˆf，则因fN ∈ L 1 ，所以 ∧ fN (ω) = Z |t|≤N e −itωf (t) dt 故在L 2中，有 ˆf (ω) = lim N→∞ Z |t|≤N e −itωf (t) dt. 例: 设f (t) = e − t 2，求 ˆf(ω). 显然f ∧ (ω) = R |t|≤N e −t 2 e −itωdt 满足微分方程2 ˆf 0 (ω) + ω ˆf (ω) = 0. 所以 ˆf (ω) = Ke−ω 2/4 , 又 ˆf (0) = √ π，故 ˆf (ω) = √ πe−ω 2/4 关于函数的正则性与它的Fourier变换大小的关系, 前面已经说明f ∈ L 1时，它的Fourier变 换为连续函数，且在无穷远处为0. 反之，我们有 定理5: 若 R +∞ −∞ ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯(1 + |ω| p )dω < +∞ . 则f及其直到p次导数连续有界。 证：因F(f (k) (t)) = (iω) k ˆf(ω), 由此推得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 f()bu0),则f∈CP, 2)若supp∫紧致,则f∈C∞ 更一般的结论是 Sobolev嵌入定理 2测不准原理 量子力学中,波函数∫∈D2(R描述一维粒子的状态。在位置t的概率密度为m=f(t)2.相 应的在处的矩密度是amr(a) 粒子的平均位置是 iP/4o(期望值) 平均矩 相应的方差值为 f|2 (t-)2|f(t)2at 大的σ度量自由粒子位置的不确定性,大的σ度量自由粒子矩量的不确定性 定理6( Heisenberg测不准原理) 且等号成立,当且仅当 f(t)=ae(-b-),(v,5,a,b)∈R2×C2
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 5 ¯ ¯f (k) (t) ¯ ¯ ≤ 1 2π Z ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ |ω| k dω 0)，则f ∈ C p , 2）若supp ∧ f紧致，则f ∈ C ∞. 更一般的结论是Sobolev嵌入定理。 2 测不准原理 量子力学中，波函数f ∈ L 2 (R)描述一维粒子的状态。在位置t的概率密度为 1 kfk 2 |f(t)| 2。相 应的在ω处的矩密度是 1 2πkfk 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ∧ f(ω) ¯ ¯ ¯ ¯ 2 粒子的平均位置是： u = 1 kfk 2 Z +∞ −∞ t|f(t)| 2 dt（期望值） 平均矩: ξ = 1 2π kfk 2 Z +∞ −∞ ω ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω 相应的方差值为 (σt) 2 = 1 kfk 2 Z +∞ −∞ (t − u) 2 |f(t)| 2 dt (σω) 2 = 1 2π kfk 2 Z∞ −∞ (ω − ξ) 2 ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω 大的σt度量自由粒子位置的不确定性, 大的σω度量自由粒子矩量的不确定性. 定理6（Heisenberg测不准原理）: σ 2 t σ 2 ω ≥ 1/4 且等号成立，当且仅当 f(t) = aeiξt−b(t−u) 2 ,(u, ξ, a, b) ∈ R 2 × C 2
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai,2003 证:(只证√f()→0的情形)若f的平均时、频位置是u和,则ef(t+u)相应的平 均时、频位置都是0。因此我们设u=5=0.由F(f(t)=iuf(u)与 Plancherel公式,以及 由 Schwarz不等式 oro=2*/()r dt s f(uo) du in tf(t)f(tdt)2 ≥mU厂U((0)+r()f(0)d2 MU(()2 If[ 2( f()2) j2 [∫(f(t)|)a2 1/4. 为得到等式,在第三步应用 Schwarz不等式时,必须等号成立。因而∈C使得 f'(t)=-2btf(t) 由此得 此时在后面的不等式中也获得等式 下面的定理表明我们不能构造在时一频二域内同时有紧支集的函数。更一般地有 定理7:设f()≠0有紧支集,则f(u)不能在任一区间上为0。类似地,若f(u)≠0有紧支 集,则f()不能在任一区间上为0 证:仅证前一结论。设∫有含于b,列的紧支集,则 f(t) f(o 若f(1)=0,vt∈[e,d,在=生处求m次导数,得 0=/)b=0 又对任t∈R,展开eu(-t0),得 f(t)=2 bf(w)ei ,f(u) 这与∫≠0矛盾
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 6 证：（只证√ tf(t) → 0的情形）若f 的平均时、频位置是u和ξ，则e −iξtf(t + u)相应的平 均时、频位置都是0。因此我们设u = ξ=0. 由F(f 0 (t)) = iω ˆf(ω)与Plancherel公式, 以及 由Schwarz不等式 σ 2 t σ 2 ω = 1 2πkfk 4 R |tf(t)| 2 dt R ¯ ¯ ¯ ω ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 kfk 4 R |tf(t)| 2 dt R |f 0 (t)| 2 dt ≥ 1 kfk 4 ( R ¯ ¯ ¯tf0 (t)f(t) ¯ ¯ ¯ dt) 2 ≥ 1 kfk 4 [ R t 2 [f 0 (t)f(t) + f 0 (t)f(t)dt] 2 = 1 kfk 4 [ R t 2 (|f(t)| 2 ) 0 ]dt] 2 = 1 kfk 4 [ R t 2 (|f(t)| 2 ) 0 dt] 2 = 1 4kfk 4 [ R (|f(t)| 2 )dt] 2 = 1/4. 为得到等式，在第三步应用Schwarz不等式时，必须等号成立。因而∃b ∈ C使得 f 0 (t) = −2btf(t). 由此得 f(t) = ae−bt2 , a ∈ C. 此时在后面的不等式中也获得等式. 下面的定理表明我们不能构造在时一频二域内同时有紧支集的函数。更一般地有 定理7: 设f(t) 6= 0有紧支集，则 ˆf(ω)不能在任一区间上为0。类似地，若 ˆf(ω) 6= 0有紧支 集，则f(t)不能在任一区间上为0。 证：仅证前一结论。设 ˆf有含于[−b, b]的紧支集，则 f(t) = 1 2π Z b −b ˆf(ω)e iωtdω. 若f(t) = 0, ∀t ∈ [c, d]，在t0 = c+d 2 处求m次导数，得 f (m) (t) = 1 2π Z b −b ˆf(ω)(iω) me iωt0 dω = 0 又对任t ∈ R，展开e iω(t−t0)，得 f(t) = 1 2π R b −b ˆf(ω)e iω(t−t0) e iωt0 dω = 1 2π P m [i(t−t0)]m m! R b −b ˆf(ω)ω me iωt0 dω = 0 这与f 6= 0矛盾
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 线性时不变系统与滤波 考虑状态空间X与Y。线性系统对应于一个线性算子L Y f(t)→g(t)=(Lf)(). 此系统是时不变的,如果对任意to,有 f(t-to)→9(t-to) 可以证明,对于线性时不变系统,存在函数h,使得 g(t)=(h*f)(t)= h(t-u)f(u) 从而,我们有 9(w)=h(w)f(w) 这样,线性时不变系统是在频率域上对输入的一种过滤 根据函数h(u)在频率空间u的能量分布,我们给出 定义:若函数h(ω)的能量分别集中在低频,高频或中间频段,我们分别称它为低通,高通 或带通滤波器 例:h(ω)=x-sω)为低通滤波器。并且它是理想低通滤波器,这是因为它完全地保留低 频成份且除去高频成份 现考虑由理想低通滤波器所产生的 Gibbs现象 设f=f*h为由理想低通滤波器h=x-4滤波后的信号 当∫∈L2(R)时,有f→f在D2().这是因为f=fx(-,且由 Plancherel公式有 If -fel f(u)-f∈(u)|2 f(u)P2d→0 2J-∞ 2丌J 当 当f在to不连续时,f在to处产生Gibs振荡。我们仅考虑已下的模型 f(t)=f(t)+Ju(t-to 其中f()在to连续,u(t)=1,当t≥0,或0,其它。也即f在to处的跳跃为J。 相应的f(t)为 f∈(t)=f*he(t)+Ju*he 第一项在to的邻域内收敛于∫a(t)。对第二项,我们有 命题( Gibbs):对v∈>0,有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 7 线性时不变系统与滤波 考虑状态空间X与Y 。线性系统对应于一个线性算子L L : X → Y f(t) → g(t) = (Lf)(t). 此系统是时不变的，如果对任意t0，有 f(t − t0) → g(t − t0). 可以证明，对于线性时不变系统，存在函数h，使得 g(t) = (h ∗ f)(t) = Z +∞ −∞ h(t − u)f(u)du. 从而，我们有 gˆ(ω) = hˆ(ω) ˆf(ω). 这样，线性时不变系统是在频率域上对输入的一种过滤。 根据函数hˆ(ω)在频率空间ω的能量分布，我们给出 定义： 若函数hˆ(ω)的能量分别集中在低频，高频或中间频段，我们分别称它为低通，高通 或带通滤波器。 例： hˆ(ω) = χ[−ξ,ξ](ω)为低通滤波器。并且它是理想低通滤波器，这是因为它完全地保留低 频成份且除去高频成份。 现考虑由理想低通滤波器所产生的Gibbs现象。 设fξ = f ∗ hξ为由理想低通滤波器hbξ = χ[−ξ,ξ]滤波后的信号。 当f ∈ L 2 (R)时，有fξ → f在L 2 (R). 这是因为 ˆfξ = ˆf · χ[−ξ,ξ] , 且由Plancherel公式有 |f − fξ| 2 = 1 2π Z +∞ −∞ | ˆf(ω) − fbξ(ω)| 2 = 1 2π Z |ω|>ξ | ˆf(ω)| 2 dω → 0 当ξ → ∞。 当f在t0不连续时，fξ在t0处产生Gibbs振荡。我们仅考虑已下的模型： f(t) = fc(t) + Ju(t − t0) 其中fc(t)在t0连续，u(t) = 1，当t ≥ 0，或0, 其它。也即f在t0处的跳跃为J。 相应的fξ(t)为 fξ(t) = fc ∗ hξ(t) + Ju ∗ hξ 第一项在t0的邻域内收敛于fc(t)。对第二项，我们有 命题（Gibbs）: 对∀² > 0, 有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 u* he(t)= 证:由he()=sin(5)(t),得 h() sinE(t-r) sin S(t- (t-x) 变量替换后,即得证。 函数S(t)=∫d的图像如图. 最大 Gibbs振荡发生在t=士π/,其幅度不依赖于。 sin t A=S(丌)-1= dt-1≈0.045 最后,我们有 f()-fe(t)=JS((t-to)+(5,t) 其中∈(,t)→0当|→∞,在to的某邻域内 我们以例子解释分辨率的概念和滤波器h支集大小间的关系。假定h是紧支集的, 即suph=[a,b(-∞<a<b<∞)。我们以测量数据这一过程为例来说明。设∫为真实数 据,而g是通过某过程测量过程而得到的观测值。很明显,g在时刻t=T的数值应该忠实地 反映f在t=T时的真实数据。由h的支集的性质,9(T)依赖于f(t)在区间t∈团T-b,T-]的 数值。因而对于观测过程,区间长度b-a愈小,g(T)愈真实的反映∫。故观测过程的分辨率 与h的支集的大小有关。高分辨率系统对应于小支集的滤波器,反之亦然。 4取样定理 考虑Drac分布6(t).形式上有: )=/6(t)e-ldt=1 因而,对b0(t)=6(-to),有 o(∞) 对 Dirac梳子, a(t-nT) n=-
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 8 u ∗ hξ(t) = Z tξ −∞ sin x πx dx 证：由hξ(t) = sin(ξt)/(πt), 得 u ∗ hξ(t) = Z +∞ −∞ u(t) sin ξ(t − x) π(t − x) dx = Z +∞ 0 sin ξ(t − x) π(t − x) dx 变量替换后，即得证。 函数S(ξt) = ξt R −∞ sin x πx dx的图像如图. 最大Gibbs振荡发生在t=±π/ξ，其幅度不依赖于ξ。 A = S(π) − 1 = Zπ −∞ sin t πt dt − 1 ≈ 0.045. 最后，我们有 f(t) − fξ(t) = JS(ξ(t − t0)) + ²(ξ, t) 其中²(ξ, t) → 0当|ξ| → ∞，在t0的某邻域内。 我们以例子解释分辨率的概念和滤波器h支集大小间的关系。假定h是紧支集的， 即supph = [a, b](−∞ < a < b < ∞)。我们以测量数据这一过程为例来说明。设f为真实数 据，而g是通过某过程测量过程而得到的观测值。很明显，g在时刻t = T的数值应该忠实地 反映f在t = T时的真实数据。由h的支集的性质，g(T)依赖于f(t)在区间t ∈ [T − b, T − a]的 数值。因而对于观测过程，区间长度b − a愈小，g(T)愈真实的反映f。故观测过程的分辨率 与h的支集的大小有关。高分辨率系统对应于小支集的滤波器，反之亦然。 4 取样定理 考虑Dirac分布δ(t). 形式上有： ˆδ(ω) = Z δ(t)e −itωdt = 1 因而，对δt0 (t) = δ(t − t0)，有 δbt0 (ω) = e −it0ω . 对Dirac 梳子， c(t) = X +∞ n=−∞ δ(t − nT)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 9 其 Fourier变换为 c()=∑ 定理8( Poisson求和公式):在分布意义下,有 证:因c(ω)以2π/T为周期,为证上式,只需证c限制到[-π/T,π/门]时等于2/T6.为此,只 需证对任意检验函数(u),它的支集含于,到,有 = lim -intw o(0) N 积分内级数的和为 (N+1/2)Td n(Tw/2) 因此 = lim 2T M sin((N +1/2)Tw Tw/2 sin(lw 记v(u) ()a2,|x1,而如(1)为u(u)的逆 Fourier变换,因2-lsin(au) 0, 其它。 是x(-a4(t)的 Fourier,变换,由 Parseval等式有 <>=m算广0u) 1+(Od lim 罕+x()d=(0)=等(0) 注: Poisson求和公式给出 Fourier系数与取样值之间的关系。 关于f的一致取样值f(nT),可表为DaC函数f(nT)6(t-nn)。因而 fa()=∑f(nt)6(t-n) 由于6(t-nT)=c-m,所以有 fa()=∑f( nte n 我们还有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 9 其Fourier变换为 cˆ(ω) = X n e −inT ω 定理8（Poisson求和公式）：在分布意义下，有 X n∈Z e −inT ω = 2π T X n∈Z δ(ω − 2kπ T ). 证：因cˆ(ω)以2π/T为周期，为证上式，只需证cˆ限制到[-π/T，π/T]时等于2π/T δ. 为此，只 需证对任意检验函数φˆ(ω)，它的支集含于[- π T ，π T ]，有 ˆ = lim N−>∞ Z +∞ −∞ X N n=−N e −inT ωφˆ(ω)dω = 2π T φˆ(0). 积分内级数的和为 X N n=−N e −inT ω = sin[(N + 1/2)T ω] sin(T ω/2). 因此 ˆ = lim N−>∞ 2π T Z π/T −π/T sin[(N + 1/2)T ω πω T ω/2 sin(T ω/2)φˆ(ω)dω 记ψˆ(ω) = ( ϕˆ(ω) T ω/2 sin(T ω/2) , kωk ˆ = lim N→∞ 2π T R +∞ −∞ sin[(N+ 1 2 )T ω] πω ψˆ(ω)dω = lim N→∞ 2π T R (N+ 1 2 )T −(N+ 1 2 )T ψ(t)dt = 2π T R +∞ −∞ ψ(t)dt = 2π T ψˆ(0) = 2π T φˆ(0). 注：Poisson求和公式给出Fourier系数与取样值之间的关系。 关于f的一致取样值f (nT)，可表为Dirac函数f (nT) δ (t − nT)。因而 fd (t) = X n f (nt) δ (t − nT) 由于δ (\t − nT) = e −inT ω，所以有 ˆfd(ω) = X n f(nt)e inT ω . 我们还有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 引理:fa()=∑kf(u-等) 证:在分布的意义下,有 (f(nt)8(t-nr),(t)=f(nT)p(nT) (f(t(t-nT),(t))=f(nt)y(nt) 故f(nt)6(t-nn)=f(t)(t-mT).因而fa()可改写为 fa(t)=f(t)>o(t-nr)=f()c(t) 由 Fourier变换的乘积性质 由P 式,有 2 2丌k T 再由f*6(u-5)=f(u-5),引理得证 注:从一函数构g(t)造出它的周期化,一种方法是 2丌k 定理9( Shanon(1949), Whittaker(1935)):设f的支集含于[-π/T,丌/].则 ∑∫(mm)hr(t-n) 其中 It/T 证:因hx=Tx-/,/m,由前一引理得 2k 由f的支集性质,上式右端等于f(u).取逆 Fourier变换得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 10 引理： ∧ fd (ω) = 1 T P k ∧ f ¡ ω − 2kπ T ¢ 。 证: 在分布的意义下，有 hf (nt) δ (t − nT), ϕ (t)i = f (nT) ϕ (nT) 和 hf (t) δ (t − nT), ϕ (t)i = f (nt) ϕ (nt) 故f (nt) δ (t − nT) = f(t)δ(t − nT). 因而fd (t)可改写为 fd (t) = f(t) X n δ(t − nT) = f(t)c(t) 由Fourier变换的乘积性质 ∧ fd (ω) = 1 2π ∧ f ∗ ∧ c 由Poisson公式，有 ∧ c(ω) = 2π T X k δ µ ω − 2πk T ¶ 再由 ∧ f ∗δ (ω − ξ) = ∧ f (ω − ξ)，引理得证. 注：从一函数构g(t)造出它的周期化，一种方法是 gc(t) = X k g µ t − 2πk T ¶ . 定理9（Shanon(1949)，Whittaker(1935)）: 设 ˆf的支集含于[−π/T, π/T]. 则 f(t) = X n f(nT)hT (t − nT) 其中 hT (t) = sin πt/T πt/T . 证：因hˆ T = T χ[−π/T,π/T] ，由前一引理得 hˆ T · ˆfd = 1 T hˆ T · X k ˆf(ω − 2kπ T ) (∆) 由 ˆf的支集性质，上式右端等于 ˆf(ω). 取逆Fourier变换得