Ch7定积分 计划课时:21时 P268-302 2002.02.13. Ch7定积分(21时) §1定积分的概念(2时) 背景 1.曲边梯形的面积 2.变力所作的功 3.函数的平均值 4.原函数的构造型定义:([P274-277) 二、定积分的定义 三、举例: 例1已知函数f()=x2在区间[0,61(b>0)上可积,用定义求积分jxtx 解取n等分区间[0,b]作为分法T,A=2.取5=x,=b,(≤≤m) x'dr-lim >x? Ax,=lim >ib Ax,=lim 5: (6 n→① b =lm n(n+1)(2n+1)= 由函数f(x)在区间[0,b]上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值
Ch 7 定 积 分 计划课时： 2 1 时 P 268—302 2002．02．13. Ch 7 定 积 分 （ 2 1 时 ） § 1 定积分的概念（ 2 时 ） 一、 背景： 1． 曲边梯形的面积: 2． 变力所作的功: 3． 函数的平均值: 4． 原函数的构造型定义: ( [1]P274—277 ) 二、 定积分的定义: 三、 举例: 例 1 已知函数 在区间 xf )( 上可积 . 用定义求积分 . 2 = x b ] , 0 [ b > )0( ∫ b dxx 0 2 解 取n 等分区间 作为分法 b ] , 0 [ T , n b xi =Δ . 取 , n ib x ξ ii == ≤ ≤ ni )1( . ∫ b dxx 0 2 = ∑ ∑ = = ∞→ ∞→ ⎟ Δ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =Δ n i n i i n ii n x n ib xx 1 1 2 2 lim lim ∞→ = n lim ∑= ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n i n b i 1 3 2 ∞→ = n lim ∑= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n i i n b 1 2 3 ∞→ = n lim 3 )12)(1( 6 1 3 3 b nnn n b ⎟ =++⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ . 由函数 在区间 上可积 xf )( b ] , 0 [ , 每个特殊积分和之极限均为该积分值
d x 例2已知函数f(x) 在区间[0,1上可积,用定义求积分 解分法与介点集选法如例1,有 =li lin 1+x al n t 上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分a 例3讨论 Dirichlet函数D(x)在区间[0,1]上的可积性 Ex p272 §2定积分存在的条件(3时) 必要条件: Th1f(x)∈R[a,b],→f(x)在区间[a,b]上有界 充要条件: 1.思路与方案 思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法T的“最大”和“最 小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且 与分法T及介点无关的条件 方案:定义上和S(7)和下和s(T).研究它们的性质和当7→0时有相同极限的充要 条件 2. Darboux和:以下总设函数f(x)在区间[a,b]上有界并设m≤∫(x)≤M,其中 m和M分别是函数f(x)在区间[a,b]上的下确界和上确界定义 Darboux和,指出 Darboux和未必是积分和但 Darboux和由分法T唯一确定分别用S(T)、s()和 ∑()记相应于分法T的上(大)和、下(小)和与积分和积分和∑(T)是数集(多值) 但总有s(T)≤∑()≤5(),因此有s(T)≤S(7) S()和S(T)的几何意义 3. Darboux和的性质:本段研究 Darboux和的性质,目的是建立 Darboux定理先用分点 集定义分法和精细分法:T≤T’表示T是T的加细
例 2 已知函数 xf )( 2 1 1 + x = 在区间 ] 1 , 0 [ 上可积 , 用定义求积分 ∫ + 1 0 2 1 x dx . 解 分法与介点集选法如例 1 , 有 ∫ + 1 0 2 1 x dx ∞→ = n lim ∑= ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n i n n 1 i 2 1 1 1 ∞→ = n lim ∑= + n i in n 1 22 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 ∫ + 1 0 2 1 x dx . 例 3 讨论 Dirichlet 函数 在区间 xD )( ] 1 , 0 [ 上的可积性 . Ex P272 . § 2 定积分存在的条件（ 3 时 ） 一、 必要条件: Th 1 ( ] ) ∈ Rxf ,[ ba ，⇒ xf )( 在区间 ba ] , [ 上有界. 二、 充要条件: 1．思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法T 的“最大”和“最 小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且 与分法T 及介点ξ i 无关的条件 . 方案: 定义上和 )( 和下和 __ TS Ts )( . 研究它们的性质和当 T → 0 时有相同极限的充要 条件 . 2. Darboux 和: 以下总设函数 在区间 xf )( ba ] , [ 上有界. 并设 ≤ )( ≤ Mxfm , 其中 m 和 M 分别是函数 在区间 上的下确界和上确界 .定义 Darboux 和, 指出 Darboux 和未必是积分和 . 但 Darboux 和由分法T 唯一确定.分别用 、 xf )( ba ] , [ )( __ TS Ts )( 和 ∑ T)( 记相应于分法T 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和∑ T)( 是数集(多值) . 但总有 Ts )( ≤ ∑(T) ≤ )( , 因此有 __ TS Ts )( ≤ )( __ TS . Ts )( 和 的几何意义 )( . __ TS 3. Darboux和的性质: 本段研究Darboux和的性质, 目的是建立Darboux定理.先用分点 集定义分法和精细分法: T ≤ T ′表示T ′是T 的加细 . 101
性质1若T≤T’,则s(T)≤s(T"),S(T)≥S(T").即:分法加细,大和不增,小和不 减.(证) 性质2对任何T,有m(b-a)≤S(T),M(b-a)≥s(7).即:大和有下界,小和有 上界.(证) 性质3对任何T1和T2,总有S(T)≤S(T2).即:小和不会超过大和 证(71)≤s(T+72)≤S(T1+72)≤S(T2) 性质4设T是T添加p个新分点的加细.则有 s(T)≤7)ss()+p(M-m)7‖ s(7)≥S(T)≥s(7)-p(M-m)7‖ 证设7是只在T中第i个区间[x1,x内加上一个新分点x所成的分法,分别设 M=supf(x),M2=supf(x),M=Supf(x).显然有m≤M1和 M,≤M,≤M.于是 0≤S(7)-S(71)=M1(x1-x1)-M1(x-x-1)-M2(x1-x) (M1-M1x-x-1)+(M1-M2)(x1-x)≤ D(x-x,-)+(M-m)(x-x)=(M-m)(x,-x-)s(M-m)T 添加p个新分点可视为依次添加一个分点进行p次.即证得第二式.可类证第一式 系设分法T有p个分点,则对任何分法T,有 S(T)-p(M-m)T‖sS(T),s(T+p(M-m)‖T|≥s(7) 证S(T)-p(M-m)‖IT‖≤S(T+T)≤S(T) s(T)+p(M-m)‖T‖≥s(T+7)≥s(T) 4.上积分和下积分:设函数f(x)在区间[a,b]上有界.由以上性质2,s(T)有上 界,S(T)有下界.因此它们分别有上确界和下确界 定义记[f(x)drx=infS(T) f(x)dx=sups(m).分别称和为函数 f(x)在区间[a,b]上的上积分和下积分
性质1 若T ≤ T ′ , 则 Ts )( ≤ Ts ′)( , . 即 : 分法加细, 大和不增,小和不 减 . ( 证 ) )( __ TS ≥ )( __ TS ′ 性质 2 对任何T , 有 − abm )( ≤ )( __ TS , − abM )( ≥ Ts )( . 即 : 大和有下界,小和有 上界. ( 证 ) 性质 3 对任何T1 和 T2 , 总有 )(Ts 1 ≤ )( 2 __ TS . 即: 小和不会超过大和 . 证 )(Ts 1 ≤ )( +TTs 21 ≤ )( 21 __ + TTS ≤ )( . 2 __ TS 性质 4 设T ′是T 添加 p 个新分点的加细. 则有 Ts )( ≤ Ts ′)( ≤ Ts )( + p − mM )( T , )( __ TS ≥ )( __ TS ′ ≥ )( __ TS −− )( TmMp . 证 设T1 是只在T 中第 i 个区间 内加上一个新分点 ] , [ 1 ii xx − x 所成的分法, 分别设 )(sup ],[ 1 1 M xf xxi− = , )(sup [ ], 2 = xfM i xx , )(sup ],[ 1 xfM ii xx i − = . 显然有 ≤ Mm 1 和 2 i ≤≤ MMM . 于是 1 iii −1 1 i−1 2 i −−−−−=−≤ xxMxxMxxMTSTS )()()()()(0 i 1 i−1 i 2 i xxMMxxMM ))(())(( ≤−−+−−= ))(())(())(( i−1 i −−=−−+−−≤ ii −1 xxmMxxmMxxmM −≤ )( TmM . 添加 个新分点可视为依次添加一个分点进行 次 p p . 即证得第二式. 可类证第一式. 系 设分法T ′有 p 个分点，则对任何分法T ，有 −− ≤ TSTmMpTS ′)( ||||)()( ， + − ≥ TsTmMpTs ′)( ||||)()( . 证 −− ≤ + ′ ≤ TSTTSTmMpTS ′)( )( ||||)()( . +≥−+ ′ ≥ TsTTsTmMpTs ′)( )( ||||)()( . 4. 上积分和下积分: 设函数 在区间 xf )( ba ] , [ 上有界. 由以上性质 2 ， Ts )( 有上 界 ， 有下界 )( . 因此它们分别有上确界和下确界. __ TS 定义 记 ∫ b a )( dxxf TS )(infT = , ∫ b a )( dxxf Ts )(sup T = . 分别称 ∫ b a 和 ∫ b a 为函数 xf )( 在区间 ba ] , [ 上的上积分和下积分. 102
对区间[a,b]上的有界函数f(x) 和存在且有限 并且对任 何分法T,有sT)s∫s∫sT) 上、下积分的几何意义 例1求∫,D(x)和Dx),其中DOx)是Diht函数 5. DarboUx定理: Th1设函数f(x)在区间[a,b]上有界,T是区间[a,b]的分法.则有 S(T)=f(x)dx s(T) f(x)d 证(只证第一式 要证 对VE>0,3δ>0,使当0,彐T”,使(7)m,否则f(x)为常值函数,=S(7)对任何 2P(M-m) 分法T成立)对任何分法T,只要|0,36>0,使当 103
对区间 ba ] , [ 上的有界函数 xf )( , ∫ b a 和 ∫ b a 存在且有限 , ∫ b a ≥ ∫ b a . 并且对任 何分法T , 有 Ts )( ≤ ∫ b a ≤ ∫ b a ≤ )( __ TS . 上、下积分的几何意义. 例 1 求 ∫ 1 0 )( dxxD 和 ∫ 1 0 )( dxxD . 其中 是xD )( Dirichlet 函数 . 5. Darboux 定理 : Th 1 设函数 xf )( 在区间 ba ] , [ 上有界 , T 是区间 ba ] , [ 的分法 . 则 有 0 lim T → )( __ TS = ∫ b a )( dxxf , 0 lim T → Ts )( = ∫ b a )( dxxf . 证 ( 只证第一式 . 要 证 : 对 ∀ε > ∃δ > , 0 , 0 使 当 T ∀ , 0 T ′ , 使 )( mM , 否则 为常值函数 xf )( , ∫ b a = 对任何 分法T 成立. ) 对任何分法T , 只要 )( __ TS T ∃δ > , 0 , 0 使当 103
卩0,彐7,3S(7)-s(7)0,VT,|70,彐7,3 O,4r Th3的几何意义及应用Th3'的一般方法:为应用Th3,通常用下法构造分法T:当函 数f(x)在区间[a,b]上含某些点的小区间上O作不到任意小时,可试用f(x)在区间
T ∃T ∋ , , 0 )( − __ TS Ts )( ∃>∀ , 0 , 0 , TT ∃T ∋ , , 0 ∑ <Δ εω . iI x Th 3’ 的几何意义及应用 Th 3’的一般方法: 为应用 Th 3’, 通常用下法构造分法T :当函 数 xf )( 在区间 ba ] , [ 上含某些点的小区间上ω i 作不到任意小时, 可试用 在区间 (xf ) 104
[a,b]上的振幅O=M-m作O,的估计,有O,≤.此时,倘能用总长小于 (≠0,否则f(x)为常值函数)的有限个小区间复盖这些点,以这有限个小区间的 端点作为分法T的一部分分点,在区间[a,b]的其余部分作分割,使在每个小区间上有 对如此构造的分法T,有 2(b-a) △x4+c,△ 2(b-a) Ax,+o>Ax,≤ (b-a)+o 2(b-a) 2(b-a) Th4((R)可积函数的特征)设f(x)在区间[a,b]上有界.f(x)∈R[a,b]分 对VE>0和Va>0,36>0,使对任何分法T,只要|70和Vσ>0,彐δ>0,使对任何分法 T,只要‖0,37,3,2E的区间总长小于三,此时有 ∑△Ax=∑oAx+∑oAxs∑Ax+o∑Ax,≤ab-a)+o2 k=1 E(b-a+1) 可积函数类 1.闭区间上的连续函数必可积: Th5(证) 2.闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 系1闭区间上按段连续函数必可积 系2设函数f(x)在区间[a,b]上有界且其间断点仅有有限个聚点,则函数f(x)在区 间[a,b]上可积
ba ] , [ 上的振幅 ω −= mM 作 ω i 的估计 , 有 ω i ≤ ω . 此时, 倘能用总长小于 0 ( 2 ω ≠ ω ε , 否则 为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的 端点作为分法 xf )( T 的一部分分点，在区间 ba ] , [ 的其余部分作分割，使在每个小区间上有 ω i ∀ 0 和 σ δ >∃>∀ 0 , 0 , 使对任何分法 T , 只要 T ∀ 0 和 ∀σ > ∃δ > 0 , 0 , 使对任何分法 T , 只要 T ∀ , , 0 ω ′ ≥ ε i 的区间总长小于 , ω ε 此时有 ∑ ∑ ∑∑ ∑ = =′ ′ ′= = ′′ +−≤Δ+Δ≤Δ+Δ=Δ m k n i i m k k n i xii xkk ii abxxx 1 1 1 1 )( ω ε ω ω ωεωεω = =ε ab +− ).1( 三． 可积函数类： 1．闭区间上的连续函数必可积： Th 5 （ 证 ） 2． 闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 . Th 6 （ 证 ） 系 1 闭区间上按段连续函数必可积 . 系 2 设函数 在区间 上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数 在区 间 上可积. xf )( ba ] , [ xf )( ba ] , [ 105
例2判断题:闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积.( 3.闭区间上的单调函数必可积 Ih7(证) 0 关于可丝体n1x:1n=1,2,…证明(x)在O,1上可积 例3f(x)={1 般的充分条件为 Th闭区间[a,b]上的正规函数( regulated function)f(x)是可积的 g: S.K. Berberian, Regulated function: Bourbakis alternative to the Riemann integral, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3. 1979 马振民, Riemann积分中几个常用可积条件的统一,甘肃教育学院学报(自然科学 版),Vol.12,No,1,1998 ExP283-2841-5 §3定积分的性质(3时) 、定积分的性质 1.线性性质 Th1f∈R[a,b],k- Const kf∈ab,且[=k[∫.(证) Th2g∈a.,→∫主g∈刚a,且∫(±g)=[/土∫g.(证) 综上,定积分是线性运算 2.乘积可积性: Th3f,g∈R[a,b],→f·g∈R[a,b 证f和g有界.设A=up|f(x),B=Supg(x),且可设A>0,B>0(否则f 或g恒为零)插项估计∑o(·g)Ax,有 O,(f·g)= sup f(x)g(x)-f(x")g(x”)k ≤sup[|g(x)川f(x)-f(x”)+|f(x")‖g(x)-g(x”)≤BO,O)+AO,(g) 但一般∫/g≠/g 3.关于区间可加性 Th4有界函数∫在区间[a,c]和[c,b]上可积,f(x)∈R[a,b],并有
例 2 判断题 : 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( ) 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( ) 3. 闭区间上的单调函数必可积： Th 7 （ 证 ） 例 3 , 2 , 1 " . 1 1 1 , 1 , 0 , 0 )( = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > 0 , 0 f g ∑ Δ⋅ i i ω )( xgf =⋅ ′′ − ′′ ′′ ≤ ′′′ Δ∈ |)()()()(|sup)( , gf xgxfxgxf i xxx ωi i ′′′ Δ∈ xxx ≤ , sup gAfBxgxgxfxfxfxg )( )(|])()(| |)(| |)()(| |)(| [ ≤ ωi + ωi ′′ − ′′ + ′′ ′ − ′′ . …… 但一般 . ∫ ∫ ⋅≠⋅ b a b a b a gfgf ∫ 3. 关于区间可加性: Th 4 有界函数 f 在区间 ca ],[ 和 bc ],[ 上可积， ⇔ xf )( ∈ baR ] , [ , 并 有 106
广=∫+广(证明并解释几何意义) 规定 系设函数∫在区间[A,B]上可积.则对a,b∈[A,B],有 广=∫+ (证) 4.积分关于函数的单调性 Th5设函数/g∈Ra小,且sg,=∫fs[g.(证)(反之确否 积分的基本估计:m(b-a)≤[f≤M(b-a).其中m和M分别为函数∫在区间 [a,b]上的下确界与上确界 5.绝对可积性: Th6设函数∫∈R小,=1/ab,且门1121八(注意a<b) 证以f(x)-1f(x)s(x)-f(x证明∑(fAx≤∑()Ax,。以 f(x)|≤∫(x)≤|∫(x)证明不等式 x为有理数, 该定理之逆不真以例f(x)= x为无理数做说明 6.积分第一中值定理: Th7(积分第一中值定理)∫∈C[a,b,→彐5∈[a,b],使 f=f(5)(b-a) Th8(推广的积分第一中值定理)f,g∈C[a,b],且g不变号,则 3∈a.b,使∫g=)∫g (证) 关于积分中值定理中值点的渐近性质有与微分中值定理类似的结果,其中最基本的可参阅 Bernard Jacobson, On the mean value theorem for integrals. The American Mathematical Monthly,1982.No5.P300-301.在该文中得到如下结果 f∫ is differentiable at a,f'(a)≠0,and aken In Theorem for integral then lim- 变限积分:定义上限函数Φ(x)=[f(d,(以及函数平(x)=[f()dt),其中 函数∫∈R[a,b.指出这是一种新的函数,也叫做面积函数)
∫∫∫ += b c c a b a . ( 证明并解释几何意义 ) 规定 = 0 , . ∫ a a ∫∫ −= a b b a 系 设函数 在区间 f BA ] , [ 上可积 . 则对 ∀ ] ,ba ∈ BA , [ , 有 += ∫∫∫ . （ 证 ） b c c a b a 4. 积分关于函数的单调性: Th 5 设函数 ∈ baRgf ],[, , 且 f ≤ g , ⇒ ∫ b a f ≤ ∫ b a g .（ 证 ）(反之确否?) 积分的基本估计: − abm )( ≤ ∫ b a f ≤ − abM )( . 其中 m 和 M 分别为函数 在区间 上的下确界与上确界. f ba ] , [ 5. 绝对可积性: Th 6 设函数 ∈ baRf ],[ , ⇒ ∈ baRf ],[|| , 且 ∫ (注意 b a f || ≥ ∫ b a f .|| < ba .) 证 以 ′ − ′′ ≤ ′ − xfxfxfxf ′′)()(|)(||)(| 证明∑ωi |)(| xf i ≤Δ ∑ i Δ i ω )( xf 。 以 ≤≤− xfxfxf |)(| )( |)(| 证明不等式. 该定理之逆不真. 以例 做说明. ⎩ ⎨ ⎧ − = , 1 . , 1 , )( 为无理数 为有理数 x x xf 6. 积分第一中值定理: Th 7 ( 积分第一中值定理 ) ∈ baCf ],,[ ⇒ ∃ξ ∈ ba ] , [ , 使 = ∫ b a f f ξ )( − ab )( . （ 证 ） Th 8 ( 推广的积分第一中值定理 ) ∈ baCgf ],,[, 且 g 不变号， 则 ξ ∈∃ ba ] , [ , 使 gf = b ∫a f ξ )( ∫ b a g . （ 证 ） 关于积分中值定理中值点的渐近性质有与微分中值定理类似的结果, 其中最基本的可参阅: Bernard Jacobson , On the ｍean value theorem for integrals. The American Mathematical Monthly, 1982. No 5. P300—301 . 在该文中得到如下结果: Th If f is differentiable at a ， ′ af ≠ 0)( ， and is taken in the Theorem for integral ，then c 2 1 lim = − − → x a ac ax . 二. 变限积分: 定义上限函数 ，（以及函数 ），其中 函数 . 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.） ∫ =Φ x a )()( dttfx ∫ =Ψ b x )()( dttfx ∈ baRf ],[ 107
Th8(面积函数的连续性) 三.举例: 例1设∫,g∈R[a,b].试证明 牌5)(mAx= .其中5和n是△ 内的任二点,T={Δ1},i=1,2,…,n 例2比较积分edx与leax的大小 例3设∫∈CIab,f(x)20但f(x)≠0.证明[f>0 例4证明不等式-< --sIn x d 证明分析所证不等式为dx< <|√2dx.只要证明在[0-上成立不 sIn x 等式1≤1-sin2x≤√2,且等号不恒成立,则由性质4和上例得所证不等式 例5证明 lim cos"xdx=0 ExP289-2901-8 §4定积分的计算(4时 引入:由定积分计算引出 思路:表达面积函数Φx)=[f()dt 微积分学基本定理 1.变限积分的可微性 微积分学基本定理 Th1(微积分学基本定理)若函数f∈CIab,则面积函数d(x)=f(t在 [a,b]上可导,且d(x)=xf()b=f(x)。即当f∈Cab]时,面积函数 d(x)=[f()t可导且在点x∈[a,b]的导数恰为被积函数在上限的值亦即Φ(x)是 f(x)的一个原函数
Th 8 ( 面积函数的连续性 ) 三. 举例: 例 1 设 ∈ baRgf ],[, . 试证明: ∑ ∫ =Δ = → b a n i iii T fgxgf 1 0 ηξ )()(lim . 其中ξ i 和ηi 是 内的任二点, { }, Δi T = Δi i = " , , 2 , 1 n . 例 2 比较积分 ∫ 1 0 dxe x 与 ∫ 的大小. 1 0 2 dxex 例 3 设 ∈ baCf ],,[ xf ≥ 0)( 但 xf ≡/ 0)( . 证明 >0. ∫ b a f 例 4 证明不等式 ∫ < − < 2 0 2 2 sin 2 1 1 2 π π π x dx . 证明分析 所证不等式为 ∫ ∫ < − < 2 0 2 2 0 2 0 .2 sin 2 1 1 π π π dx x dx dx ∫ 只要证明在 ] 2 ,0[ π 上成立不 等式 1 ≤ sin 2 2 1 1 2 1 2 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − x , 且等号不恒成立, 则由性质 4 和上例得所证不等式. 例5 证明 ∫ = ∞→ 2 0 0coslim π xdx n n . Ex P289—290 1 — 8. § 4 定积分的计算（ 4 时 ） 引入：由定积分计算引出 . 思路：表达面积函数 . ∫ =Φ x a )()( dttfx 一、微积分学基本定理： 1. 变限积分的可微性 —— 微积分学基本定理： Th 1（ 微积分学基本定理 ）若函数 则面积函数 在 上可导，且 = ∈ baCf ],,[ ∫ =Φ x a )()( dttfx ba ] , [ Φ′ x)( ∫ = x a xfdttf dx d )()( 。即当 ∈ baCf ],[ 时 , 面积函数 =Φ ∫ 可导且在点 x a )()( dttfx x ∈ ba ] , [ 的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即 Φ x)( 是 xf )( 的一个原函数 。 108
证 系连续函数必有原函数 2. Newton一 Leibniz公式 Th2(N一L公式)(证) 例1 d x 例2 I Inxdx 例3a (与§1例3联系) 例4设∫∈Ca,b],f(x)20但f(x)≠0.证明∫>0.(§3例3对照) 证明分析:证明0=/(x)kΦ(x)(只要Φ(x)≥0),ⅱ>但Φ(x)不是常值函数 (只要Φ(x)≠0),ⅲ)又Φ(a)≥0.(证) 例5证明lim dx=0 (利用[0,1]上的不等式0≤x 1+x 定积分换元法 Th3设∫∈C[a,b,函数φ满足条件 i〉p(a)=a,叭(B)=b,且a≤p()≤b,t∈[a,6 i>(1)在[a,6]上有连续的导函数 则「f(x)dx=md()p()dt (证) 例6 例7「 sint cos t 例8计算J=门m(1+x) dx.(该例为技巧积分)
证 系 连续函数必有原函数. 2. Newton — Leibniz 公式： Th 2 （ N — L 公式 ）( 证 ) 例 1 ⅰ> ; ⅱ> ; ∫ b dxx 0 2 ∫ b a x dxe 例 2 . ∫ − e e xdx 1 ln 例 3 ∫ + 1 0 2 1 x dx . ( 与§1 例 3 联系 ) 例 4 设 ∈ baCf ],,[ xf ≥ 0)( 但 xf ≡/ 0)( . 证明 >0. ( §3 例 3 对照.) ∫ b a f 证 明 分 析 : 证明 . 设 , 只要证明 .为此证明: ⅰ> ↗ ( 只要 ∫ ∫ = 但Φ x)( 不是常值函数 (只要Φ′ x ≡/ 0)( ), ⅲ> 又 a ≥Φ 0)( . ( 证 ) 例 5 证明 ∫ = ∞→ + 1 0 .0 1 lim dx x x n n ( 利用[0,1]上的不等式 . 1 0 x x x n ≤ + ≤ ) 二、定积分换元法： Th 3 设 ∈ baCf ],,[ 函数φ 满足条件： ⅰ> φ α = a φ β )( , )( = b , 且 ≤ φ ≤ tbta ∈ α β ],[ , )( ; ⅱ> φ t)( 在 α β ],[ 上有连续的导函数. 则 ∫ ∫ = ′ . （ 证 ） b a dtttfdxxf β α φφ )()]([)( 例 6 ∫ − 1 0 2 1 dxx . 例 7 ∫ 2 0 cossin π tdtt . 例 8 计算 ∫ + + = 1 0 2 1 )1ln( dx x x J . （该例为技巧积分.） 109
