Ch13多元函数的极限与连续 计划课时:8时 P127—143 200.06.06 Ch13多元函数的极限与连续(8时) §1平面点集与多元函数 平面点集:平面点集的表示E={(x,y)(x,y)满足的条件}余集E 1.常见平面点集 (1)全平面和半平面:{(x,y)x≥0},{(x,y)|x>0}, {(x,y)x>a},{(x,y)y≥ax+b}等 (2)矩形域:[ab]×e,d],{(x,y)x+1yk1 (3)圆域:开圆,闭圆,圆环.圆的个部分.极坐标表示,特别是 (r,0)|r≤2acos6}和{(r,O)|r≤2 asin e} (4)角域:{(r,O)|a≤≤B} (5)简单域:X一型域和Y一型域. 邻域:圆邻域和方邻域,圆邻域内有方邻域,方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集{(x,y)|04x-x0k,04y-yok}的区别 、点集拓扑的基本概念: 1.内点、外点和界点:集合E的全体内点集表示为intE,边界表示为OE 集合的内点∈E,外点∈E,界点不定 例1确定集E={(x,y)|0<(x-1)2+(y+2)2<1}的内点、外点集和边界 例2E={(x,y)10≤y≤D(x),x∈[0,1]},D(x)为 Dirichlet函数.确定集E的 内点、外点和界点集 2.(以凝聚程度分为)聚点和孤立点:孤立点必为界点 例3E={(x,y)y=sin-}.确定集E的聚点集 解E的聚点集=E∪[-1,1] 3.(以包含不包含边界分为)开集和闭集:intE=E时称E为开集,E的聚点集 cE时称E为闭集存在非开非闭集.R2和空集p为既开又闭集 (以连通性分为)开区域、闭区域、区域:以上常见平面点集均为区域 4.有界集与无界集 5.点集的直径d(E):两点的距离D(P,P2)
Ch 13 多元函数的极限与连续 计划课时： 8 时 P 127 — 143 200. 06.06 . Ch 13 多元函数的极限与连续 ( 8 时 ) § 1 平面点集与多元函数 一、 平面点集: 平面点集的表示: = yxyxE ),(|),{( 满足的条件}. 余集 c E . 1．常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面 : xyx ≥ }0|),{( , xyx > }0|),{( , > axyx }|),{( , +≥ baxyyx }|),{( 等. ⑵ 矩形域: × dcba ],[],[ , yxyx ≤+ 1||||),{( }. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分. 极坐标表示, 特别是 θ ≤ arr θ}cos2|),{( 和 θ ≤ arr θ}sin2|),{( . ⑷ 角域: r θ α ≤ θ ≤ β}|),{( . ⑸ 简单域: X − 型域和Y − 型域. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 }||0 , ||0|),{( xxyx 0 <−< δ < − yy 0 < δ 的区别. 二、 点集拓扑的基本概念: 1 ．内点、外点和界点： 集 合 E 的全体内点集表示为 int E , 边界表示为 ∂E . 集合的内点∈ E , 外点∉ E , 界点不定 . 例 1 确定集 } 1)2()1(0|),( { 的内点、外点集和边界 . 2 2 = yxyxE <++−< 例 2 = ≤≤ xxDyyxE ∈ xD )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( { 为 Dirichlet 函数. 确定集 E 的 内点、外点和界点集 . 2. ( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 . 例3 = yxE |),( { } 1 sin x y = . 确定集 E 的聚点集 . 解 E 的聚点集 E −∪= ] 1 , 1 [ . 3. ( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集: int E = E 时称 E 为开集 , E 的聚点集 ⊂ E 时称 E 为闭集. 存在非开非闭集. 2 R 和空集φ 为既开又闭集. ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 . 4. 有界集与无界集: 5. 点集的直径 ： Ed )( 两点的距离 ) , ( ρ PP 21
6.三角不等式 x1-x2|(或|y1-y21)≤√(x-x2)2+(y1-y2)2|x1-x2|+1y1-y2 三.点列的极限:设P=(xn,yn),P=(x0,y0) 定义IimP=P的定义(用邻域语言) 例4(xn,yn)→>(x,y)分xn→>x,yn→>y,(n→>∞) 例5设P为点集E的一个聚点则存在E中的点列{P},使limP=B 四.R2中的完备性定理 1. Cauchy收敛准则 先证{(xn,yn)}为 Cauchy列分{xn}和{yn}均为 Cauchy列 2.闭集套定理 3.聚点原理:列紧性, Weierstrass聚点原理 4.有限复盖定理 五、二元函数: 1.二元函数的定义、记法、图象 2.定义域: 1.求定义域 In y i>f(x,y)= ii>f(,y)= 3.二元函数求值 2.f(x,y)=2x-3y2,求f(1,-1),f(1,2) 3.∫(x,y)=ln(+x2+y2),求f(pcos, psin 8) 4.三种特殊函数 (1)变量对称函数:∫(x,y)=f(y,x),例8中的函数变量对称 (2)变量分离型函数:f(x,y)=p(x)y(y).例如 2=xy-ety, :=xy+2x+y+2, f(x, y) (x+y)Xx-3等 但函数二=x+y不是变量分离型函数 (3)具有奇、偶性的函数: §2多元函数的极限和连续性 全面极限与相对极限:全面极限亦称为二重极限
6. 三角不等式： || 21 − xx （或 ）|| 21 − yy |||| )()( 21 21 2 21 2 21 −+−≤−+−≤ yyxxyyxx . 三. 点列的极限: 设 ) , ( nnn = yxP , , ( ) 000 = yxP . 定义 的定义 ( 用邻域语言 ) . 0 lim n PP n = ∞→ 例4 ) , ( , , nn yx → ) , ( 00 yx ⇔ 0 xxn → 0 yyn → n → ∞ ) ( . 例5 设 为点集 P0 E 的一个聚点 . 则存在 E 中的点列 Pn } { , 使 0 lim n PP n = ∞→ . 四. 2 R 中的完备性定理: 1. Cauchy 收敛准则: 先证{ }) , ( 为 Cauchy 列 和 均为 Cauchy 列. nn yx ⇔ } { n x } { n y 2. 闭集套定理: 3. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass 聚点原理. 4. 有限复盖定理: 五、二元函数: 1．二元函数的定义、记法、图象： 2．定义域： 1. 求定义域： ⅰ> yxf ),( 1 9 22 22 −+ −− = yx yx ; ⅱ> yxf ),( ln( )1 ln 2 +− = xy y . 3．二元函数求值: 2. yxf ),( , 求 2 −= 32 yx ) , 1 ( , ) 1 , 1 ( x y f − f . 3. yxf ),( )1ln( , 求 22 ++= yx f ρ θ ρ θ )sin , cos( . 4． 三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: yxf ),( = xyf ),( ,例 8 中的函数变量对称. ⑵ 变量分离型函数: yxf ),( = φ ψ yx )()( .例如 , yx exyz +32 = = + yxxyz ++ ,22 yxf ),( 2 )( ))(( xy + − xxyyxy = 等 . 但函数 z x += y 不是变量分离型函数 . ⑶ 具有奇、偶性的函数： Ex P132 1—8. § 2 多元函数的极限和连续性 一. 全面极限与相对极限: 全面极限亦称为二重极限. 207
1.全面极限limf(x,y)=A的定义:亦可记为limf(P)=A.由 (x,y)+(xy) limf(x)=A的定义引入 例1用“E-δ”定义验证极限lim(x2+xy+y2)=7 (x,y)(2,1) 例2用“E-δ”定义验证极限lim (x,y)≠(0,0) 例3f(x,y)= (x,y)=(0,0) 证明Iimf(x,y)=0.(用极坐标变换) 2.相对极限及方向极限 相对极限lmf(P)=A和方向极限lmf(x,y+k(x-x0)=A的定义 3.全面极限与相对极限的关系 Th1limf(P)=A,分对D的每一个子集E,只要点P是E的聚点,就有 lim f(P 系1设E1∈D,B是E1的聚点.若极限limf(P)不存在,则极限limf(P)也 不存在 系2设E1E2CD,B是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)=A1 limf(P)=A2,但A1≠A2,则极限imf(P)不存在 系3极限lm∫(P)存在,分对D内任一点列{P},B→>B但Pn≠B,数列 f(Pn)}收敛 通常为证明极限limf(P)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个 方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关.但应注意,沿任何方向的极限存在且 相等≠全面极限存在(以下例5) 例4f(x,y)={x2+y2,(x,y)≠(0 证明极限limf(x,y)不存在 (x,y)+(0,0) (x,y)=(0,0) (考虑沿直线y=kx的方向极限) 例5求下列极限
1． 全面极限 ),(lim ),(),( 00 yxf → yxyx = A 的定义 : 亦可记为 APf PP = → )(lim0 . 由 Axf 的定义引入. xx = → )(lim0 例 1 用“ε −δ ”定义验证极限 (lim 7) . 2 2 )1,2(),( =++ → yxyx yx 例 2 用“ε −δ ”定义验证极限 lim 0 22 2 0 0 = + → → yx xy y x . 例 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ + − = ).0,0(),( , 0 ),0,0(),( , ),( 22 22 yx yx yx yx xy yxf 证明 0),(lim . ( 用极坐标变换 ) . )0,0(),( = → yxf yx 2．相对极限及方向极限: 相对极限 APf 和方向极限 DP PP = ∈ → )(lim0 Axxkyxf xx + − = → 0 0 ))( , (lim0 的定义. 3． 全面极限与相对极限的关系: Th 1 , 对 D 的每一个子集 E , 只要点 是 E 的聚点 ,就有 . APf DP PP = ∈ → )(lim0 ⇔ P0 APf EP PP = ∈ → )(lim0 系 1 设 , 是 的聚点 . 若极限 不存在 , 则极限 也 不存在 . 1 ⊂ DE P0 E1 )(lim 1 0 Pf EP PP ∈ → )(lim0 Pf DP PP ∈ → 系 2 设 , 是 和 的聚点 . 若存在极限 , , 但 , 则极限 不存在. , 21 ⊂ DEE P0 E1 E2 1 )(lim 1 0 APf EP PP = ∈ → 2 )(lim 2 0 APf EP PP = ∈ → ≠ AA 21 )(lim0 Pf DP PP ∈ → 系 3 极限 存在 )(lim , 对 D 内任一点列 , 但 0 Pf DP PP ∈ → ⇔ } { Pn n → PP 0 n ≠ PP 0 , 数列 )}({ 收敛 . Pf n 通常为证明极限 不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个 方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且 相等 )(lim0 Pf →PP ⇒/ 全面极限存在 ( 以下例 5 ). 例4 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = + . )0,0(),( , 0 ),0,0(),( , ),( 22 yx yx yx xy yxf 证明极限 ),(lim 不存在. )0,0(),( yxf yx → ( 考虑沿直线 的方向极限 = kxy ). 例5 求下列极限: 208
lim lim sin xy y2 (x,y)+(3,0) In(+x2 i)〉lim 4.极限limf(x,y)=+∞的定义: 其他类型的非正常极限,(x,y)→无穷远点的情况 例6 li ExP142-1431,2. 二、累次极限 1.累次极限的定义: 例7∫(x,y)= x2+,,求在点(0,0)的两个累次极限 例8f(x,y)=x-,求在点(0,0)的两个累次极限 例9f(x,y)=xSin-+ysin-,求在点(0,0)的两个累次极限 2.全面极限与累次极限的关系: (1)两个累次极限存在时,可以不相等.(例9) (2)两个累次极限中的一个存在时,另一个可以不存在 例如函数f(x,y)=xsin-在点(0,0)的情况 (3)全面极限存在时,两个累次极限可以不存在 例如例10中的函数,由|∫(x,y)|≤|x|+|y}>0,(x,y)→>(0,0).可见全面极限 存在,但两个累次极限均不存在 (4)两个累次极限存在(甚至相等)≯全面极限存在.(参阅例4和例8) 综上,全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系 则必相等(交、《x影√f(xy)和累次极限 lim lim f(x,y)(或另一次序)都存在 Th2若全面极限lim 系1全面极限和两个累次极限三者都存在时,三者相等 系1给出了累次极限次序可换的一个充分条件 系2两个累次极限存在但不相等时,全面极限不存在 但两个累次极限中一个存在,另一个不存在→全面极限不存在参阅(2)的例
ⅰ> )0,0(),( lim yx → 22 2 yx yx + ; ⅱ> )0,3(),( lim yx → y sin xy ; ⅲ> )0,0(),( lim yx → xy xy −+ 11 ; ⅳ> )0,0(),( lim yx → 22 22 )1ln( yx yx + ++ . 4． 极限 ),(lim ),(),( 00 yxf → yxyx +∞= 的定义: 其他类型的非正常极限， yx ),( → 无穷远点的情况. 例6 验证 )0,0(),( lim yx → +∞= + 22 32 1 yx . Ex P142—143 1，2. 二、累次极限: 1．累次极限的定义: 例7 22 ),( yx xy yxf + = , 求在点 的两个累次极限 ) 0 , 0 ( . 例8 22 22 ),( yx yx yxf + − = , 求在点 的两个累次极限 ) 0 , 0 ( . 例9 x y y xyxf 1 sin 1 sin),( += , 求在点 的两个累次极限 ) 0 , 0 ( . 2．全面极限与累次极限的关系: ⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例 9 ) ⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数 y xyxf 1 = sin),( 在点 的情况 ) 0 , 0 ( . ⑶ 全面极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例 10 中的函数, 由 . 可见全面极限 存在 , 但两个累次极限均不存在. yxyxf →+≤ yx → )0,0(),( , 0|||| |),(| ⑷ 两个累次极限存在( 甚至相等 ) ⇒/ 全面极限存在 . ( 参阅例 4 和例 8 ). 综上, 全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系. Th 2 若全面极限 和累次极限 (或另一次序)都存在 , 则必相等. ( 证 ) ),(lim ),(),( 00 yxf → yxyx ),(limlim 00 yxf →→ yyxx 系 1 全面极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 . 系 1 给出了累次极限次序可换的一个充分条件. 系 2 两个累次极限存在但不相等时 , 全面极限不存在 . 但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 ⇒/ 全面极限不存在 . 参阅⑵的例. Ex P142 3，4，5。 209
三、二元函数的连续性 (一)二元函数的连续(相对连续)概念:由一元函数连续概念引入 1.连续的定义 定义用邻域语言定义相对连续.全面连续 函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点 +y2≠0, 例1f(x,y)= 证明函数f(x,y)在点(0,0)沿方向y=mx连续 例2f(x,y)= j1,0<y<x2,-0<x<+∞, lo,其他 证明函数∫(x,y)在点(0,0)沿任何方向都连续,但并不全面连续 函数的增量:全增量、偏增量.用增量定义连续性 函数在区域上的连续性 2.二元连续(即全面连续)和单元连续 定义(单元连续 定义(二元连续 二元连续与单元连续的关系 3.连续函数的性质:运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性 (二)二元初等函数及其连续性: 二元初等函数 元初等函数的连续性 (三)一致连续性 (四)有界闭区域上连续函数的性质 1.有界性与最值性.(证) 2.一致连续性 证) 3.介值性与零点定理.(证) ExP142-1436-10
三、二元函数的连续性 （一） 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 . 1． 连续的定义: 定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 . 函数 有定义的孤立点必为连续点 yxf ),( . 例1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ + ≠+ + = , . 0 1 , , 0 ),( 22 2 22 22 yx m m yx yx xy yxf 证明函数 在点 沿方向 连续 yxf ),( ) 0 , 0 ( = mxy . 例 2 ⎩ ⎨ ⎧ +∞<<∞−<< = . , 0 ,0 , 1 , ),( 2 其他 xy x yxf 证明函数 在点 沿任何方向都连续 yxf ),( ) 0 , 0 ( , 但并不全面连续. 函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 . 函数在区域上的连续性 . 2． 二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 : 定义 ( 单元连续 ) 定义 ( 二元连续 ) 二元连续与单元连续的关系: 3． 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. （二） 二元初等函数及其连续性: 二元初等函数 , 二元初等函数的连续性. （三） 一致连续性: （四） 有界闭区域上连续函数的性质: 1．有界性与最值性. ( 证 ) 2．一致连续性. ( 证 ) 3．介值性与零点定理. ( 证 ) Ex P142—143 6—10. 210
