第一节定积分的概念 巴一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 巴四、几何意义 巴五、小结思考题
庄=、问题的提出 实例1(求曲边梯形的面积 曲边梯形由连续曲线 y=f(r) y=f(x)(f(x)≥0) 工工工 x轴与两条直线x=a、 A=? o a b x x=b所围成 上页
a b x y o A= ? 曲边梯形由连续曲线 实例1 （求曲边梯形的面积） y = f (x)( f (x) 0) 、 x 轴与两条直线x = a 、 x = b所围成. 一、问题的提出 y = f (x)
用矩形面积近似取代曲边梯形面积 J J 0 b bx (四个小矩形) (九个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积 上页
a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）
观察下列演示过程,注意当分割加细时, c矩形面积和与曲边梯形面积的关系 3个分割点的图示 1.(上和-下和) 1.05556(积分近似值) 播放 上页
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放
曲边梯形如图所示,在区间|a,b内插入若干 个分点,a=x0<x1<x2<…<xn1<xn=b, 把区间[a,b分成n 个小区间[x1,x 长度为Ax1=x1-x1; 工工工 在每个小区间Ix21x;1 x;-1 上任取一点5 O a xi xi-5 xi xn-1b c以xn,D为底,∫()为高的小矩形面积为 A1=f(9;)△x 上页
曲边梯形如图所示， , [ , ] 0 1 2 1 a x x x x x b a b 个分点， = n− n = 在区间 内插入若干 a b x y o i i x 1 x i −1 x n−1 x ; [ , ] [ , ] 1 1 − − i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分 成 上任取一点 ， 在每个小区间 i i i x x [ , ] −1 i i i A = f ( )x 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为
A曲边梯形面积的近似值为 A≈∑f(5)△x 当分割无限加细,即小区间的最大长度 =max{△x1,△x2,…△xn} 趋近于零(4→0)时 王曲边梯形面积为A=im∑f(5)△x 上页
i n i i A f x = ( ) 1 曲边梯形面积的近似值为 i n i i A = f x = → lim ( ) 1 0 趋近于零 时 ， 当分割无限加细 即小区间的最大长度 ( 0) max{ , , } , 1 2 → = n x x x 曲边梯形面积为
实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度=v(t)是 时间间隔|T1,T2l上的一个连续函数,且 Av()≥0,求物体在这段时间内所经过的路程 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上 工工工 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 王分过程求得路程的精确值 上页
实例2 （求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t) 是 时间间隔[ , ] T1 T2 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
(1)分割T=t0<t1<t2<…<tn1<tn=T2 △t1=1t1-t1 △s;≈v(v)△t7 部分路程值 某时刻的速度 (2)求和s≈∑v(x;)△t (3)取极限=max{t1,△2,…,△tn} 路程的精确值s=lim∑v(τ;)At i=1 上页
（1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = n− n = i = i − i−1 t t t i i i s v( )t 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 i i n i s v t = ( ) 1 （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n = t t t i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0 路程的精确值
庄二、定积分的定义 定义设函数f(x)在ab1上有界,在a,b1中任意插入 若千个分点a=x<x1<x,<…<x,<x=b 斗把区间a,b分戏个小区间,各小区间的长度依次为 △x;=x1-x-1,(=1,2,…),在各小区间上任取 工工工 一点5;(5∈△x;),作乘积f(5;)△x;(i=1,2,…) 并作和S=∑f(5△x, = 记=max{△x1,Ax2,…,△xn},如果不论对a,b 圆[回 上页
设函数 f ( x) 在[a,b]上有界， 记 max{ , , , } 1 2 n = x x x ，如果不论对[a,b] 在[a,b]中任意插入 若干个分点 a x x x x x b = 0 1 2 n−1 n = 把区间[a,b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为 i = i − i −1 x x x ，(i = 1,2, ) ，在各小区间上任取 一点 i （ i i x ），作乘积 i i f ( )x (i = 1,2 , ) 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1 ， 二、定积分的定义 定义
怎样的分法,也不论在小区间x1,xl上 点5怎样的取法,只要半→0时,和S总趋于 确定的极限,我们称这个极限为函数f(x) 在区间a,b上的定积分,记为 分上限 积分和 牛/()k==Im∑f(5△ →>0 i=1 工工工 分下限 被积函数 被积表达式 积1a,小积分区恒 分 变 量 上页
怎样的分法， = = ba f ( x)dx I i i ni f x = → lim ( ) 1 0 被积函数 被积表达式 积分变量 [a,b]积分区间 也不论在小区间[ , ] i 1 i x x − 上 点 i 怎样的取法，只要当 → 0 时，和S 总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数f (x) 在区间[a,b]上的定积分， 记为 积分上限 积分下限 积分和