第八节广义积分的审敛法 I一函数 无穷限的广义积分的审敛法 无界函数的广义积分的审敛法 r-函数 巴四、小结
生一、无穷限的广义积分的审敛法 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法 上定理1设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续, x 且f(x)20.若函数F(x)=Jf()m 工工工 在+0)上有界,则广义积分Jf(x)d收敛 由定理1,对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理. 上页
一、无穷限的广义积分的审敛法 在 上有界，则广义积分 收敛． 且 ．若函数 定理１ 设函数 在区间 上连续， + + = + a x a a f x dx f x F x f t dt f x a [ , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) [ , ) 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法. 由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
定理2(比较审敛原理)设函数∫(x)、g(x)在 区间a,+∞)上连续,如果0≤f(x)≤g(x)(a≤ +0 x<+∞)并且「g(x)收敛,则「f(x) 也收敛;如果0(x)S∫(x)(a≤x<+∞,并 )+OO 且∫g(x)发散,则∫(x)k也发散 工工工 证设a<b+∞,由0f(x)≤g(x)及J(x) b 收敛,得∫f(x)ksJs(x)sJg(x) 即F(b)=「f(x)d在a+)上有上界 上页
且 发散，则 也发散． 也收敛；如果 并 并 且 收敛，则 区 间 上连续，如果 定 理 比较审敛原理 设函数 、 在 + + + + + + + a a a a g x dx f x dx g x f x a x x g x dx f x dx a f x g x a f x g x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ), ( ) ( ) [ , ) 0 ( ) ( ) ( 2 ( ) ( ) ( ) 证 ( ) ( ) ( ) . 0 ( ) ( ) ( ) + + + a b a b a a f x dx g x dx g x dx a b f x g x g x dx 收敛，得 设 ， 由 及 即F(b) = f (x)d x在[a,+ ) 上有上界． b a
由定理1知「f(x)dx收敛 如果0≤g(x)≤f(x)且∫g(x)发散, 王则∫(x)必定发散 如果「f(x)d收敛,由第一部分知 工工工 g(x)dc也收,这与假设矛盾 例如,广义积分 d 当p>1时收敛; a> a 当P≤1时发散 上页
由定理１知 收敛． + a f (x)d x ( ) . 0 ( ) ( ), ( ) , 则 必定发散 如 果 且 发 散 + + a a f x dx g x f x g x dx 也收，这与假设矛盾． 如 果 收敛，由第一部分知 + + a a g x dx f x dx ( ) ( ) 例如， + 当 时发散． 当 时收敛； 广义积分 1 1 ( 0) P p a x dx a p
定理3(比较审敛法1)设函数f(x)在区间 Ia,+∞)(a>0)上连续,且∫(x)≥0.如果 存在常数M>0及p>1,使得f(x)≤ M P 王asx+0则广(x收做如果存在 N 常数N>0,使得f(x)≥(a≤x<+) 牛则厂f(x)发散 上页
则 发散． 常数 ，使得 ， 则 收敛；如果存在 存在常数 及 ，使得 上连续，且 如果 定理 比较审敛法１ 设函数 在区间 + + + + + a a p f x d x a x x N N f x a x f x d x x M M p f x a a f x f x ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ( ) 0 1 ( ) [ , ) ( 0) ( ) 0. 3 ( ) ( )
例1判别广义积分!x 的收敛性 y+1 解0 1 3 根据比较审敛法1, ∫" o ax 广义积分 收敛 y+1 上页
例１ . 1 1 判别广义积分 3 4 的收敛性 + x + d x 解 , 1 1 1 1 0 3 4 3 4 4 / 3 x x x = + 1, 3 4 p = 根据比较审敛法１， . 1 1 广义积分 3 4 收敛 + x + d x
定理4(极限审敛法1)设函数f(x)在区间[a,+∞) (a>0)上连续,且∫(x)≥0.如果存在常数p>1, 王使得mx()存在,则「7(收敏 如果lmxf(x)=d>0(或imxf(x)=+0),则 x→+o x→ ∫(x)dkc发散 王例2列别广义积分厂4的收敛性 王解-Imx2.,1 x1+x2=所给广义积分收敛 圆[回 上页
发散． 如 果 或 则 使 得 存在，则 收敛； 上连续，且 如果存在常数 ， 定 理 极限审敛法１ 设函数 在区间 + →+ →+ + →+ = = + + a x x a p x f x dx xf x d xf x x f x f x dx a f x p f x a ( ) lim ( ) 0 ( lim ( ) ), lim ( ) ( ) ( 0) ( ) 0. 1 4 ( ) ( ) [ , ) 例２ . 1 1 判别广义积分 2 的收敛性 + x + x d x 解 1, 11 lim 2 2 = + →+ x x x x 所给广义积分收敛．
3/2 例3判别广义积分1+x4的收敛性 3/2 解∵limx =+0, 2 x→)+∞1+x x→)+a1+x 2 根据极限审敛法1,所给广义积分发散 例4判别广义积分厂的收敛性 arctan x 解 lim x im arctan x= x→+0 x→+0 2 根据极限审敛法1,所给广义积分发散 上页
例３ . 1 1 2 3 / 2 判别广义积分 d x的收敛性 x x + + 解 2 2 2 3 / 2 1 lim 1 lim x x x x x x x x + = →+ + →+ = + , 根据极限审敛法１，所给广义积分发散． 例４ . arctan 1 判别广义积分 dx 的收敛性 x x + 解 x x x x x x lim arctan arctan lim →+ →+ = , 2 = 根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
王定理5设函数f(x)在区间+)上连续, 如果厂f(x)收敛;则∫(x)也收敛 庄证令叫)=1(x)+(x) g(x)20,且叭(x)sf(x),J(x)k敛 「o(xx也收敛但∫(x)=2(x)-/(x) 王/(h=sk-/(ks 上页
如 果 收敛；则 也收敛． 定 理 设函数 在区间 上连续， + + + a a f x dx f x dx f x a ( ) ( ) 5 ( ) [ , ) 证 ( ( ) ( )). 21 令 ( x) = f x + f x (x) 0，且 (x) f (x), f (x)d x收 敛, a+ (x)d x也收敛. a+ 但 f (x) = 2(x) − f (x), ( ) 2 ( ) ( ) , = − ba ba ba f x d x x d x f x d x ( ) 2 ( ) ( ) . + + + = − a a a 即 f x d x x d x f x d x 收敛
生定义满足定理5条件的广义积分「 十 ∫(x)dx 称为绝对收敛 绝对收敛的广义积分(x)必定收敛 + 例5判别广义积 分 Jo e asinbxdx(a,b都是 常数n>0)的收敛性 解 D e sinbo≤e ,而edx收敛 0 王:[re"smb收所以所给广义积分收敛 ● 王页下
. 5 ( ) 称为绝对收敛 定义 满足定理 条件的广义积分 + a f x d x 绝对收敛的广义积分 必定收敛． + a f (x)dx 例5 0) . sin ( , 0 常 数 的收敛性 判别广义积分 都 是 + − a e b xd x a b ax 解 sin , . 0 而 收 敛 + − − − e b x e e d x ax ax ax sin . 0 收 敛 + − e b xd x ax 所以所给广义积分收敛