re Notes 第六章一些推广 本章我们讨论双正交小波基的构造,以及向高维的推广 双正交小波 前面我们构造的 Daubechies小波,除了Har外,它们都没有对称性。对称性和线性位相 是直接相联系的,后者是信号处理等问题所需要的 定义:称函数∫(1)关于对称,若 f(+t)=f(-t 上式等价于 f(t)=f(c-t) 引理:设p(t)是尺度函数, 1 hk 且关于后斜对称,则有 9(u)=ep(u), hk=h-k,k,当c为整数时, m()=emo(u),当c为整数时, 且三者之一都推出(t)关于号对称。 证:(练习,或见龙瑞麟pp.94-95)。 我们将主要感兴趣于{hk}为实数序列,且c=0或c=1的情形 在c=0时,有 m10(-u)=mo(u) 在c=1时,有 mo-w)=e mo(w) 引入另外一个函数,它满足 (t)=∑hx(2t
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 6, by D.Q. Dai, 2003 1 第六章 一些推广 本章我们讨论双正交小波基的构造，以及向高维的推广。 1. 双正交小波 前面我们构造的Daubechies小波，除了Haar外，它们都没有对称性。对称性和线性位相 是直接相联系的，后者是信号处理等问题所需要的。 定义： 称函数f(t)关于c 2对称，若 f( c 2 + t) = f( c 2 − t), a.e. 上式等价于 f(t) = f(c − t). 引理：设ϕ(t)是尺度函数， m0(ω) = 1 2 X k hke −ikω 且关于c 2斜对称，则有 ϕb(ω) = e icωϕb(ω), hk = hc−k, ∀k, 当c为整数时， m0(ω) = e icωm0(ω), 当c为整数时， 且三者之一都推出ϕ(t)关于c 2对称。 证：（练习，或见龙瑞麟pp. 94-95）。 我们将主要感兴趣于{hk}为实数序列，且c = 0或c = 1的情形。 在c = 0时，有 m0(−ω) = m0(ω) (1) 在c = 1时，有 m0(−ω) = e iωm0(ω) (2) 引入另外一个函数ϕe，它满足 ϕe(t) = X k ehkϕe(2t − k) (3)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 6, by D Q 并记 (w) 我们假定φ与p在如下意义下是双正交的,即 (90.k,9o)=6k 则关于面具{hk}与{hk},有 引理 hkhk_2l=26 证: p(tp(t-l)dt >hAhn/s(2t-k)p(2t-2L-n)dt 2>h/(=30=2=m边 hkh,dr 引理:我们有 m(u)mo(u)+mo(u+丌)mo(u+丌)=1 引理:若m0(a)满足条件(1)或(2),则方程(5)存在满足条件(1)或(2)的解mo(u) 证:见龙瑞麟p.14 为保证y与有一定的正则性,我们要求 1 在条件(1)成立时,m0(u)与m0(a)也含有(1+c)N与(1+c)N的因子,故mo(u)应 含有 +e
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 6, by D.Q. Dai, 2003 2 并记 mf0(ω) = 1 2 X k ehke ikω . 我们假定ϕ与ϕe在如下意义下是双正交的，即 hϕ0,k, ϕe0,li = δk,l. 则关于面具{hk}与{ehk}，有 引理： X k hk ehk−2l = 2δl,0 (4) 证： δl, 0 = Z ϕ(t)ϕe(t − l)dt = X k, n hk ehn Z ϕ(2t − k)ϕe(2t − 2l − n)dt = 1 2 X k, n hk ehn Z ϕ(t − k)ϕe(t − 2l − n)dt = 1 2 X k, n hk ehnδk, 2l+n = 1 2 X k hk ehk−2l . 引理：我们有 m0(ω)mf0(ω) + m0(ω + π)mf0(ω + π) = 1 (5) 引理：若m0(ω)满足条件(1)或(2)，则方程(5)存在满足条件(1)或(2)的解mf0(ω)。 证：见龙瑞麟p.145。 为保证ϕ与ϕe有一定的正则性，我们要求 m0(ω) = µ 1 + e −iω 2 ¶N M0(ω) 和 mf0(ω) = µ 1 + e −iω 2 ¶Ne Mf0(ω). 在条件(1)成立时，m0(ω)与mf0(ω)也含有(1 + e iω) N与(1 + e iω) Ne的因子，故m0(ω)应 含有 (1 + e −iω) N (1 + e iω) N = c ³ cos2 ω 2 ´N
fure notes valets, Chapter 6, by D Q. Dai. 2003 的因子,类似地,m0(4)应含有(cos2)~的因子。所以有 引理:设m(ω)是实系数三角多项式,满足条件(1),则存在实系数多项式P(),使 得P(-1)≠0和 mo(w)=(co-e w\NPo(cos w 而在(2)成立时,有 m(a)=c-1()2N+1(cosa) 关于m0(u)亦有类似的结果 下面只讨论条件(1)成立时的情形,这时 mo(w)=(cos2)Po(cos w), mo(w)=(cos2)Po(cos w) 由等式得 (cos2 o)+Po(cos w)Po(cos w)+(sin2)+ Po(cos w)Po(-cosw)=1 n2号,和 P Po(l-2sin)=P( 则有 (1-y"+ P(y) (1-y) 解此方程得 Po(cos w)Po(cos w)=2 Cn+i-1(sin20)+(sin2o)r(sin2o) 其中r(u)=R(l-u),R(u)是奇次多项式。 个特例是: P(u)≡1,和取r(u)≡0, mo(a)=(cos2当)(样条函数) 即 这时
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 6, by D.Q. Dai, 2003 3 的因子，类似地，mf0(ω)应含有(cos2 ω 2 ) Ne的因子。所以有 引理：设m0(ω)是实系数三角多项式，满足条件(1)，则存在实系数多项式P(t)，使 得P(−1) 6= 0和 m0(ω) = (cos2 ω 2 ) N P0(cos ω). 而在(2)成立时，有 m0(ω) = e −i ω 2 (cos ω 2 ) 2N+1P0(cos ω). 关于mf0(ω)亦有类似的结果。 下面只讨论条件(1)成立时的情形，这时 m0(ω) = (cos2 ω 2 ) N P0(cos ω), mf0(ω) = (cos2 ω 2 ) Ne Pf0(cos ω) 由等式得 (cos2 ω 2 ) N+Ne P0(cos ω)Pf0(cos ω) + (sin2 ω 2 ) N+Ne P0(− cos ω)Pf0(− cos ω) = 1. 记y = sin2 ω 2，和 P0(cos ω)Pf0(cos ω) = P0(1 − 2 sin2 ω 2 )Pf0(1 − 2 sin2 ω 2 ) = P(sin2 ω 2 ) 则有 (1 − y) N+Ne P(y) + y N+Ne P(1 − y) = 1. 解此方程得 P0(cos ω)Pf0(cos ω) = N+ X Ne−1 j=1 C j n+j−1 (sin2 ω 2 ) j + (sin2 ω 2 ) k r(sin2 ω 2 ). 其中r(u) = R( 1 2 − u)，R(u)是奇次多项式。 一个特例是： P0(u) ≡ 1, 和取 r(u) ≡ 0, 即m0(ω) = (cos2 ω 2 ) N （样条函数） 这时 mf0(ω) = (cos2 ω 2 ) Ne N+ X Ne−1 j=1 C j n+j−1 (sin2 ω 2 ) j
ecture Notes on Wavelets, Chapter 6, by D Q. Dai. 2003 由尺度函数p与,相应的小波函数与可取为 /I mo(+) 在关于m与m0的一些条件下(类似于使{0.k标准正交),有 f=∑(,k=∑(,的 练习:导出双正交情形的Malt算法。 2:高维小波 我们仅考虑二维的情形。高维小波有多种构造方法,这里仅介绍张量积方法,更一般 的情况可参考龙瑞麟的著作, 设有L2(R)的MRA{V}∈z,定义 Vo=V⑧V=spn{F(x,y)=f(x)9(y);f,g∈W} 和v F(x,y)∈V←→F(2x,2y)∈vo 则{V}满足 CV-2CV-1C VoCViCV2C. ∩v={0},∪v=L2(R2) j∈z 由于{y(x-n)hez是V的标准正交基,乘积 亚on1n2(x,y)=9(x-m1)y(y-m2),m1,n2∈z 构成V的标准正交基 为V的标准正交基
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 6, by D.Q. Dai, 2003 4 由尺度函数ϕ与ϕe，相应的小波函数ψ与ψe可取为 ψb(ω) = e −i ω 2 mf0( ω 2 + π)ϕb( ω 2 ) 和 b ψe(ω) = e −i ω 2 m0( ω 2 + π)ϕb( ω 2 ) 在关于m0与mf0的一些条件下（类似于使ϕ0, k标准正交），有 f = X j, k hf, ψej, kiψj, k = X j, k hf, ψj, kiψej, k. 练习：导出双正交情形的Mallat算法。 2: 高维小波 我们仅考虑二维的情形。高维小波有多种构造方法，这里仅介绍张量积方法，更一般 的情况可参考龙瑞麟的著作。 设有L 2 (R) 的MRA {Vj}j∈Z，定义 V0 = V0 ⊗ V0 = span{F(x, y) = f(x)g(y); f, g ∈ V0}. 和Vj， F(x, y) ∈ Vj ⇐⇒ F(2jx, 2 j y) ∈ V0 则{Vj}满足 · · · ⊂ V−2 ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ · · · \ j∈Z Vj = {0}, [ j∈Z Vj = L 2 (R 2 ). 由于{ϕ(x − n)}n∈Z是V0的标准正交基，乘积 Φ0,n1,n2 (x, y) = ϕ(x − n1)ϕ(y − n2), n1, n2 ∈ Z 构成V0的标准正交基。 Φj,n1,n2 (x, y) = ϕj,n1 (x)ϕj,n2 (y) 为Vj的标准正交基
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 6, by D Q. Dai, 2003 定义W为v在v+1中的正交补,即 由于 V+1⑧V (V⊕W)③(V⊕W) =(V⊕V)[(W⑧V)⊕(V⑧W)⊕(兩;⑧W Vi ew W,由三部分组成 vn1(x)9m1(y),W②V yin1(x)vn2(y),v⑧W v;n1(x)vn2(y),W②W 故可定义三个小波 (x,y)=y(x)(y),水平 v"(x,y)=v(x)y(y),垂直 v2(x,y)=v(x)v(y).对角 则{mn2(x,y):m,m2∈E,入=b,Or构成W的标准正交基,且 是 DiEZ,=L(R) 的标准正交基 设y()满足双尺度方程 y(t)=∑h9(2-k 则对二维尺度函数(x,y),有 Φ(x,y)=y(x)y(y) ∑hn2y(2y-m2) ∑hnbm22
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 6, by D.Q. Dai, 2003 5 定义Wj为Vj在Vj+1中的正交补，即 Vj+1 = Vj ⊕ Wj . 由于 Vj+1 = Vj+1 ⊗ Vj+1 = (Vj ⊕ Wj ) ⊗ (Vj ⊕ Wj ) = (Vj ⊕ Vj ) ⊕ [(Wj ⊗ Vj ) ⊕ (Vj ⊗ Wj ) ⊕ (Wj ⊗ Wj )] = Vj ⊕ Wj Wj由三部分组成： ψj,n1 (x)ϕj,n1 (y), Wj ⊗ Vj , ϕj,n1 (x)ψj,n2 (y), Vj ⊗ Wj , ψj,n1 (x)ψj,n2 (y), Wj ⊗ Wj . 故可定义三个小波 ψ h (x, y) = ϕ(x)ψ(y), 水平 ψ v (x, y) = ψ(x)ϕ(y), 垂直 ψ d (x, y) = ψ(x)ψ(y). 对角 则{ψ λ j,n1,n2 (x, y) : n1, n2 ∈ Z, λ = h, v or d}构成Wj的标准正交基，且 {ψ λ j, n(x, y) : n ∈ Z 2 , λ = h, v or d} 是 ⊕j∈ZWj = L 2 (R 2 ) 的标准正交基。 设ϕ(t)满足双尺度方程 ϕ(t) = X k hkϕ(2t − k). 则对二维尺度函数Φ(x, y)，有 Φ(x, y) = ϕ(x)ϕ(y) = ÃX n1 hn1ϕ(2x − n1) ! · ÃX n2 hn2ϕ(2y − n2) ! = X n1,n2 hn1 hn2Φ(2x − n1, 2y − n2)
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 6, by D Q. Dai, 2003 从而对重kk2(x,y),有 ,y)=2y(2x-k)y(2y-k2) (2x-k1,2y-k2) 2∑hn1bn2(2+1x-2k1-m1,2+y-2k2-n2) 点∑hnhn24+1m+2m+2(y) (x,y) 对f∈L2(R2)定义 C.,k2=《f,更k1,k2) ( a 则我们有分解算法: 2>hm-2(m2号+m 如.=2∑h-292-259+1mm 1 d ,k1,k kk2=5△9m1-2k19m2-2k29+1n1m2 其中9k=(-1)h1-k 上式表明,对二维张量积小波,分解过程可以先对“行”作变换,然后对“列”作 变换。这是使用张量小波的优点 我们也可以通过{A起,小知起,k1,k2∈Z,A=h,U,母重构c+1,k,k。请自己推 导 练习:利用一维双正交小波构造二维双正交小波
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 6, by D.Q. Dai, 2003 6 从而对Φj,k1,k2 (x, y)，有 Φj,k1,k2 (x, y) = 2jϕ(2jx − k1)ϕ(2j y − k2) = 2jΦ(2jx − k1, 2 j y − k2) = 2j X n1,n2 hn1 hn2Φ(2j+1x − 2k1 − n1, 2 j+1y − 2k2 − n2) = 1 2 X n1,n2 hn1 hn2Φj+1,n1+2k1,n2+2k2 (x, y) = 1 2 X n1,n2 hn1 hn2Φj+1,n1,n2 (x, y). 对f ∈ L 2 (R 2 )定义 cj,k1,k2 = hf, Φj,k1,k2 i, 和 d λ j,k1,k2 = hf, ψλ j,k1,k2 i 则我们有分解算法: cj,k1,k2 = 1 2 X n1,n2 hn1−2k1 hn2−2k2 cj+1,n1,n2 = 1 2 X n1 hn1−2k1 ÃX n2 hn2−2k2 cj+1,n1,n2 ! d h j,k1,k2 = 1 2 X n1,n2 hn1−2k1 gn2−2k2 cj+1,n1,n2 d v j,k1,k2 = 1 2 X n1,n2 gn1−2k1 hn2−2k2 cj+1,n1,n2 d d j,k1,k2 = 1 2 X n1,n2 gn1−2k1 gn2−2k2 cj+1,n1,n2 其中gk = (−1)kh1−k. 上式表明，对二维张量积小波，分解过程可以先对“行”作变换，然后对“列”作 变换。这是使用张量小波的优点。 我们也可以通过{cj,k1,k2 , dλ j,k1,k2 , k1, k2 ∈ Z, λ = h, v, d}重构cj+1, k1, k2。请自己推 导。 练习：利用一维双正交小波构造二维双正交小波