第四节平面曲线的弧长 四一、平面曲线弧长的概念 巴二、直角坐标情形 巴三、参数方程情形 巴四、极坐标情形 巴五、小结思考题
-平面曲线孤长的概念 设A、B是曲线弧上的两 M 个端点,在弧上插入分点M B=M A=M 0915 ig M=B n-19 工工工 并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长∑|MM1|的极限存在,则称此极限为 曲线弧的弧长 上页
o x y A = M 0 M1 B = M n M 2 设 M n−1 A 、B 是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1 1 = − n i M i M i 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB 的弧长. 一、平面曲线弧长的概念
二、直角坐标情形 设曲线弧为y=f(x (a≤x≤b),其中f(x) 在a,b1上有一阶连续导数 取积分变量为,在a,b 上任取小区间[x,x+dx, 工工工 xx+dx b 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长dx)2+(y)2=1+y2h 王弧长元素b=1+y弧长-广+y么 上页 圆
设曲线弧为y = f ( x) (a x b)，其中f ( x) 在[a, b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ， 在[a,b] 上任取小区间[ x, x + d x]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+ 弧长元素 ds y dx 2 = 1+ 弧长 1 . 2 s y d x b a = + 二、直角坐标情形
例1计算曲线y=x2上相应丛到的一段 3 弧的长度. y 解y=x2, ds= 1+(x'),dx=v1+ xdx, 所求弧长为 X 王“-+x3+b-+n 上页
例 1 计算曲线 2 3 3 2 y = x 上相应于ax 从b 到 的一段 弧的长度. 解 , 2 1 y = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1 = + = 1 + xd x, 所求弧长为 s xdx b a = 1 + [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a a b
例2计算曲线=nsin66的弧长0≤x≤mT) 解y=n/sinx=in3 nn n s=、+y2dk nTC 1+sin-dx 0 n x=ntc兀 1+sint ndt 2 =n SIn +I cOS 0 2+2sin cost 22 =nl sin+ cos dt =4n. 0 2 2 上页
例 2 计算曲线 y n d n x = 0 sin 的弧长(0 x n) . 解 n n x y n 1 = sin sin , n x = s y dx b a = + 2 1 d x n n x = + 0 1 sin x = nt + t ndt 0 1 sin dt t t t t n + + = 0 2 2 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 sin dt t t n = + 0 2 cos 2 sin = 4n
生三、参数方程情形 曲线弧为 「x=g(t) (c≤t≤B) y=y(t 其中q(t)2y(t)a,6上具有连续导数 ds=v(dx)2+(dD)2=2(6)+2(t)l dt) p(t)+y(t)dt 弧长s=Pg()+v2(o)dt 上页
曲线弧为 , ( ) ( ) = = y t x t ( t ) 其中(t), (t)在[ , ] 上具有连续导数. 2 2 ds = (dx) +(dy) 2 2 2 = [ (t)+ (t)](dt) (t) (t)dt 2 2 = + 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s t t d t = + 三、参数方程情形
例3求星形线x3+y3=a3(>0)的全长 生解星形线的参数方程为= t (0≤t≤2m) 3 =aSinˇt 根据对称性S=4s1第一象限部分的弧长 =4 (x)2+()t 423a sin t cos tdt 0 Jo =6 上页
例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)的全长. 解 星形线的参数方程为 = = y a t x a t 3 3 sin cos (0 t 2) 根据对称性 1 s = 4s (x ) ( y ) dt = + 2 0 2 2 4 a t tdt = 2 0 4 3 sin cos = 6a. 第一象限部分的弧长
例4证明正弦线y= a sIn X(0≤x≤2π)的弧长 x= cost 等于椭圆 (0≤ts27)的周长 1 2 V= + a sin t 证设正弦线的弧长等于 2兀 5=1+ya= 1+ta cos xdx 2 =2√1+a2cos2xdlx 0 设椭圆的周长为2 上页
例 4 证明正弦线y = a sin x (0 x 2) 的弧长 等于椭圆 = + = y a t x t 1 sin cos 2 (0 t 2) 的周长. 证 设正弦线的弧长等于1 s s y d x = + 2 0 2 1 1 a xd x = + 2 0 2 2 1 cos 设椭圆的周长为 2 s 2 1 cos , 0 2 2 a xd x = +
2兀 o v(r+ dt 根据椭圆的对称性知 S2=2[\(sint),+(1+a?cost)'dt 0 =2√1 tacos tdt 0 2√1+a2cos2xx=s1, 0 故原结论成立 上页
( ) ( ) , 2 0 2 2 2 s x y d t = + 根据椭圆的对称性知 s ( t) ( a )( t) d t = + + 0 2 2 2 2 2 sin 1 cos a xd x = + 0 2 2 2 1 cos , 1 = s 故原结论成立. a td t = + 0 2 2 2 1 cos
生四、极坐标情形 曲线弧为r=r(O)(a≤≤B) 其中(6)在a,B上具有连续导数 ∫x=r()cos6 (c≤6≤B) y=r(0)sin 6 d=√dx)2+(dy)2=r()+r2()d0, 弧长s=r(O)+r(0 上页
曲线弧为 r = r() ( ) 其中( )在[ , ]上具有连续导数. = = ( )sin ( )cos y r x r ( ) 2 2 ds = (dx) + (dy) ( ) ( ) , 2 2 = r + r d 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s r r d = + 四、极坐标情形