高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 第九节函数的连续性 函教的连续性 函数的间断点 H tt p /www.heut.edu
第九节 函数的连续性与间断点 函数的连续性 函数的间断点
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 1.函数的增子/、函数的连续性 设函数f(x)在U(x内有定义Vx∈U8(x0) △y 05 称为自变量在点x的增量 4y=f(x)-f(x0,称为函数f(x)相应于△x的增量 y=f(x) △ △ 0 xo+△xx 0 0 0 +△xx H tt p: //
, . ( ) ( ) , ( ), 0 0 0 0 称为自变量在点 的增量 设函数 在 内有定义 x x x x f x U x x U x = − ( ) ( ), ( ) . y = f x − f x0 称为函数 f x 相应于x的增量 x y 0 x y x0 x0 + x 0 y = f (x) x x0 x0 + x x y y y = f (x) 1. 函数的增量 一、函数的连续性
高数学课趕媒课件 文工大罗理罗即> 2. 连续的定义 定义1设函数f(x)在U(x)内有定义,如 果当自变量的增量Ax趋向于零时,对应的函 数的增量Δy也趋向于零, 即 lim△=0 △→>0 或 limf(x0+△x)-f(x0)=0 △→>0 那末就称函数f(x)在点x连续,0称为 f(x)的连续点 H tt p /www.heut.edu
定义 1 设函数 f (x)在 ( ) U x0 内有定义,如 果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函 数的增量y也趋向于零, 即 lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( 0 ) ( 0 )] 0 0 + − = → f x x f x x , 那末就称函数 f (x)在点x 0 连续,x 0 称为 f (x)的连续点. 2. 连续的定义
高数学课趕媒课件 文工大罗理罗即> ix=x,+Ax, Ay=f(x)-f(o), Δx→>0就是x→x, Δy→>0就是f(x)→f(x) 定义2设函数f(x)在U。(x)内有定义如果函 数f(x)当x→>x时的极限存在,且等于它在点 x处的函数值f(x) lim f(x)=f(xo) 那末就称函数∫(x)在点x。连续 H tt p /www.heut.edu
, 设 x = x0 + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f 定义 2 设函数 f ( x)在 ( ) U x0 内有定义,如果函 数 f ( x)当x → x0时的极限存在,且等于它在点 x0处的函数值 ( ) x0 f , 即 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f ( x)在点x0 连续
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 定义3函数连续的"E-8定义: VE>0,38>0,使当x-x0,3δ>0,使当0<x-x0<δ时, 恒有f(x)-A<E 注意两个概念的区别 H tt p /www.heut.edu
" − "定义: − − f x A x x ( ) 0, 0, 0 , 0 恒 有 使 当 时 定义3 函数连续的 " − "定义: ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x f x x x 恒 有 使 当 时 比较 : f x A x x = → lim ( ) 0 注意两个概念的区别
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例1试证函数f(x)=xSx,x≠0,在x=0 处连续 证: lim x sin-=0, 0 又f(0)=0,limf(x)=f(0 x→>0 由定义2知 函数∫(x)在x=0处连续 H tt p /www.heut.edu
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 3.单侧连续 若函数f(x)在(a,x0内有定义,且f(x0-0)=f(x), 则称f(x)在点x0处左连续; 若函数f(x)在x0,b)内有定义,且f(x+0)=f(x0), 则称f(x)在点x处右连续 定理 函数f(x)在x处连续兮是函数f(x)在x0 处既左连续又右连续 H tt p /www.heut.edu
( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x 3.单侧连续
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例2讨论函数∫(x) x+2,x≥0 在x=0处的 x-2,x<0 连续性 Ri lim f(x)=lim(x+2)=2=f(O) limf(x)=lim(x-2)=-2≠∫(0), 右连续但不左连续, 故函数∫(x)在点x=0处不连续 H tt p: //
例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处 的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续, 故函数 f (x)在点x = 0处不连续
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间 上的连续函数或者说函数在该区间上连续 如果函数在开区间(a,b)内连续并且在左端点 x=a处右连续在右端点x=b处左连续则称 函数f(x)在闭区间a,b上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如:有理函数在区间(-∞+)内是连续的 H tt p /www.heut.edu
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间 上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函 数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则 称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如: 有理函数在区间(−,+)内是连续的. 4. 连续函数与连续区间
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例3证明函数y=sinx在区间(-∞,+内连续 证任取x∈(-0,+∞), △ △v y=sin(x+Ax)sin x= 2sin.cos(x+ 2 cos(x)s1,则Δ≤2sin 2 △2 对任意的α,当α≠0时,有sino0时,4→>0 即函数y=sinx对任意x∈(-∞,+∞)都是连续的 H tt p /www.heut.edu
例 3 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1 , 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的 ,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(− ,+ )都是连续的
