高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第二章导教与微分 导数概念 初等函数的求导法则 反函数、复合函数的求导法则 高阶导数 其他形式函数导数 函数的微分 微分在近似计算中的应用 Http://www.heut.edu.cn
导数概念 初等函数的求导法则 反函数、复合函数的求导法则 高阶导数 第二章 导数与微分 其他形式函数导数 函数的微分 微分在近似计算中的应用
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第一节导数概 问题的提出 导数的定义 ○按定义求导数 导数的几何意义与物理意义 ◎可导与连续的关系 Http://www.heut.edu.cn
第一节 导数概念 问题的提出 导数的几何意义与物理意义 导数的定义 按定义求导数 可导与连续的关系
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 问题的提出 1.自由落体运动的瞬肘速度问题 如图,求t时刻的瞬时速度, 取一邻近于t的时刻t,运动时间△t, 0 △t 平均速度ⅴ △ss 0 (to +t). △tt一 2 当t→t时,取极限得 瞬时速度v=lim8(to+ g 2 Http://www.heut.edu.cn
0 t t , 求t 0时刻的瞬时速度 t 如图, , 0 取一邻近于 t 的时刻 t 运动时间t, t s v 平均速度 = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g = + , 当 t → t 0时 取极限得 2 (t t) v lim 0 0 + = → g t t 瞬时速度 . 0 = gt 1.自由落体运动的瞬时速度问题 一、问题的提出
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 2.切线问题割线的极限位置切线位置 1.251.51.75 2.252.52.75 3放 Http://www.heut.edu.cn
割线的极限位置——切线位置 播放 2.切线问题
高数课程妥媒血课件 理工大理原>> 如图,如果割线MN绕点 y=f(x) M旋转而趋向极限位置 MTF,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线 C M 极限位置即 0 M|→0,∠Mm→0.设M(x,y,N(x,y) 割线MN的斜率为tanq y-yo f(x)-f( y 0 0 N—=>M、x→x0 切线M的斜率为k=tano=li f(x)-f(x0) 0 Http://www.heut.edu.cn
T 0 o x x x y y = f (x) C N M 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN 的斜率为 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , 0 N M x x ⎯ 沿 曲 线 ⎯ ⎯ C→ → 切线MT 的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = →
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 导数的定义 凶设函数y=f(x)在点x的某个邹域内 有定义,当自变量x在x处取得增量△x(点 xo+△x仍在该邻域内时,相应地函数y取 得增量Δy=∫(xo+△x)-∫(x);如果△y与 Ax之比当Ax→0时的极限存在则称函数 y=f(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数y=f(x在点x处的导数记为=, Http://www.heut.edu.cn
( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = = = → = + − + = 数 在 点 处的导数 记 为 在 点 处可导 并称这个极限为函 之比当 时的极限存在 则称函数 得增量 如 果 与 仍在该邻域内时 相应地函数 取 有定义 当自变量 在 处取得增量 点 定义 设函数 在 点 的某个邻域内 二、导数的定义
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 或 df(x) XEx dx x=x ∫(x+△ 0 )-f(x0 J n m △x→>0△v△x→0 其它形式f(x0)=im f(x0+h)-f(x0) h→0 f(o=lim f(x)-f(x0) Http://www.heut.edu.cn
. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = → 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) 0 0 x x x x d x d f x d x d y = 或 = 即
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 1 关于导教的说明: ①D点导数是因变量在点处的变化率它 反映了因变量随自变量的变{变化的快 慢程度 2如果函数y=(x)在开区间内的每点 处都可导就称函数f(x)在开区间/内可导 Http://www.heut.edu.cn
. , 0 慢程度 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点x 处的变化率 它 , ( ) . ( ) 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y = f x I 1 2 1、关于导数的说明：
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 3对于任一x∈1,都对应着f(x)的一个确定的 导数值这个函数叫做原来函数f(x)的导函数 记作y,∫(x,"或(x) dy d 即y=lim f(x+△x)-f(x) △x→>0 △x 或∫'(x)=li f(x+h-f(x) h→0 注 意 1.f"(x0)=f(x)x=x Http://www.heut.edu.cn
. ( ) , ( ), . ( ) . , ( ) dx df x dx dy y f x f x x I f x 记 作 或 导数值 这个函数叫做原来函数 的导函数 对于任一 都对应着 的一个确定的 x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim0 即 . ( ) ( ) ( ) lim0 h f x h f x f x h + − = → 或 1. ( ) ( ) . 0 0 x x f x f x = = 3注意
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2.导函数(瞬附变化率)是函数平 均变化率的逼近函数 100 25 Http://www.heut.edu.cn
播放 2.导函数(瞬时变化率)是函数平 均变化率的逼近函数