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第 3 节 平面曲线的弧长 平面曲线的弧长
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 平面曲线弧长的概念 设A、B是曲线弧上的两y 个端点,在弧上插入分点 M B=M 05 M.MB n-19 并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长∑|M1M1的极限存在,则称此极限为 曲线弧AB的弧长 Http://www.heut.edu.cn
o x y A = M 0 M1 B = M n M 2 设 M n−1 A 、B 是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1 1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长. 一、平面曲线弧长的概念
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 注 曲线可求长的充分条件定理 结论:光滑的曲线弧是可求长的 曲线“光滑”是指具有连续导数。具体地: (1)如果曲线方程是由y=f(x)x∈a4列给出, 则该曲线光滑是指:f(x)ab可导并面x)连续 (2)如果曲线是由参数方程 (( t∈Ia,月给出 y=y 则该曲线光滑是指:(),v()在区,上 可导,并妞(),y()连续 Http://www.heut.edu.cn
曲线可求长的充分条件定理 结论：光滑的曲线弧是可求长的。 曲线“光滑”是指具有连续导数。具体地： （1）如果曲线方程是由 y= f(x), x[a,b] 给出， 则该曲线光滑是指： f(x)在[a,b]上可导并且f(x)连续。 （2）如果曲线是由参数方程 [ , ]给 出 ( ) ( ) = = t y t x t 则该曲线光滑是指： （t),(t)在区间[，]上 可导，并且（t),(t)连续。 注 意
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (3)若曲线是由极坐标给出r=(O2O∈[ 那么,曲线光滑是指函数 r=r(O在c可导,并连续 以下,我们分别就(1)、(2)、(3)这三种情况来 讨论如何用元素法来求相应曲线的弧长。 Http://www.heut.edu.cn
（3）若曲线是由极坐标给出 r=r(),[,] 那么，曲线光滑是指函数 r =r()在[，]上可导，并且r()连续。 以下，我们分别就（1）、（2）、（3）这三种情况来 讨论如何用元素法来求相应曲线的弧长
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 直角坐标的情形 设曲线弧为y=f(x) (a≤x≤b),其中f(x) 在[,b上有一阶连续导数 取积分变量为,在a,b 上任取小区间[x,x+dx], xx+dx b 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长x)2+(小y)2=+y2hc 弧长元素d=1+y2ax弧长s=[√1+y2lx Http://www.heut.edu.cn
设曲线弧为y = f ( x) (a x b)，其中f ( x) 在[a, b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ， 在[a,b] 上任取小区间[ x, x + d x]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+ 弧长元素 ds y dx 2 = 1+ 弧长 1 . 2 s y d x b a = + 一、直角坐标的情形
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 23 例1计算曲线y==x2上相应于x从a到b 3 的一段弧的长度 解∵y=x2 d=√1+(x2)2hx=1+xak, 所求弧长为 s=√+xdx=21(+b1-(+a)h 3 Http://www.heut.edu.cn
例 1 计算曲线 2 3 3 2 y = x 上相应于 x从 a 到 b 的一段弧的长度. 解 , 2 1 y = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1 = + = 1 + xd x, 所求弧长为 s xdx b a = 1 + [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a a b
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2计算曲线y=lx上相应于x∈|3,v8 的一段弧的长度。 解: 0 s=C1+l()1dx 2 81+x 13 x 1+-ln Http://www.heut.edu.cn
例 2 计算曲线 y = ln x上相应于x[ 3, 8] 的一段弧的长度。 解： s x d x = + 83 2 1 [(ln ) ] d x x x + = 83 2 1 23 l n 21 = 1 + x y 3 8 y =ln x o
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3计算曲线y=[ nisin ed0的弧长(0≤x≤m) 0 解y=n1sin =sin n s=1+ydx= nTC 1+sin-dx 0 n X=ntc兀 1+sint·ndt 0 SIn +I cOS 2/+2sin cos-dt 22 SIn cos-ldt =4 Http://www.heut.edu.cn
例 3 计算曲线 y n d n x = 0 sin 的弧长(0 x n). 解 n n x y n 1 = sin sin , n x = s y dx b a = + 2 1 d x n n x = + 0 1 sin x = nt + t ndt 0 1 sin dt t t t t n + + = 0 2 2 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 sin dt t t n = + 0 2 cos 2 sin = 4n
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、参数方程的情形 曲线弧为x=0() (c≤t≤B) y=y(t) 其中q(t),y(t)在a,月上具有连续导数 d=√dk)2+(dy)2=|2()+v2()(d)2 =√q"2(t)+v"(t)dt 弧长s (t)+y(t)dt. Http://www.heut.edu.cn
曲线弧为 , ( ) ( ) = = y t x t ( t ) 其中(t), (t)在[ , ] 上具有连续导数. 2 2 ds = (dx) +(dy) 2 2 2 = [ (t)+ (t)](dt) (t) (t)dt 2 2 = + 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s t t d t = + 二、参数方程的情形
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2 2 2 例4求星形线x3+y3=a3(a>0)的全长 x acos t 解星形线的参数方程为 (0≤t≤2m) y=asin t 根据对称性s=4s第一象限部分的弧长 AaV()+(v)a=4 3a sin t cos ta Http://www.heut.edu.cn
例 4 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)的全长. 解 星形线的参数方程为 = = y a t x a t 3 3 sin cos (0 t 2) 根据对称性 1 s = 4s (x ) ( y ) dt = + 2 0 2 2 4 a t tdt = 2 0 4 3 sin cos = 6a. 第一象限部分的弧长