高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第五节定积分的分 ◎分部积分公式 小结 Http://www.heut.edu.cn
第五节 定积分的分部积分法 分部积分公式 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 分部积分公式 计算不定积分有分部积分法,相应地计算定 积分,也有分部积分法 设函数v(x)、v(x)在区间a,b]上具有连续 b b 导数,则有」,db=[]-∫ vdu 定积分的分部积分公式 b 推导(m)=m"+mn,∫(m)adx=m], LuvIo=fu'vdx+luv'dx udv=Luv vdu Http://www.heut.edu.cn
设函数u( x) 、v( x ) 在区间a , b 上具有连续 导数，则有 = − b a b a b a udv uv vdu . 定积分的分部积分公式 推导 (uv ) = uv + uv , ( ) , b a b a uv d x uv = , = + b a b a b uv a u vd x uv d x . = − b a b a b a udv uv vdu 计算不定积分有分部积分法，相应地计算定 积分，也有分部积分法 一、分部积分公式
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1计算∫faro resin xax 解令u= arcsin,d 则d= dx 9 arcsin rd lx arcsin x[2 xdx 0 十 26201-x +[1-x2]=n 十 12 122 Http://www.heut.edu.cn
计算 arcsin . 2 1 0 xdx 解 令 u = arcsin x, dv = dx, , 1 2 x d x d u − = v = x, 2 1 0 arcsin xdx 2 1 = xarcsin x 0 − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1 = (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − + 12 = 2 1 0 2 + 1 − x 1. 2 3 12 = + − 则 例1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2计算「n 0 1+cos 2x 解1+c0s2x=2cos2x, a xdx ditan x 01+cos 2x J0 2 cosx Jo 2 x tan x tan xdx 2 0 T πIn2 n sec 0 82 84 Http://www.heut.edu.cn
计算 解 . 1 cos 2 4 0 + x xdx 1 cos2 2cos , 2 + x = x + 4 0 1 cos 2x xdx = 4 0 2 2 cos x xdx d ( x) x tan 2 4 0 = 4 0 tan 2 1 = x x tan xdx 2 1 4 0 − 4 0 ln sec 2 1 8 − = x . 4 ln 2 8 − = 例2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3计算 1 In(1+x) d 0(2+x) 解 In(1+x) n(1+ x)d (2+x) 2+x 「In(1+x) 十 dIn(1+ x) 2+x 0 02+x In 2 1 十 3 2+x1+ 1+x2+x In 2 +[n(1+x)-ln(2+x)=ln2-lm3 3 3 tt p : // h
计算 解 . (2 ) 1 ln(1 ) 0 2 + + dx x x + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) d x x x + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln( 1 ) + + = − x x + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln 2 = − dx x x + + + 1 0 1 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1 1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln 2 = − + + x − + x ln 2 ln 3. 3 5 = − 例3
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例4设f(x)= x sint d,求「x(x)d 解因为 sin t 没有初等形式的原函数, 无法直接求出f(x),所以采用分部积分法 xf(xdx f∫(x)d(x2) 2 [2f(xl x df(x) 2 0 f(1) x2∫(x)dx 2 2 Http://www.heut.edu.cn
设 求 解 = 2 1 , sin ( ) x dt t t f x ( ) . 1 0 xf x dx 因 为 t sin t 没有初等形式的原函数， 无法直接求出f ( x) ，所以采用分部积分法 10 xf ( x )dx = 10 2 ( ) ( ) 21 f x d x 10 2 ( ) 21 = x f x − 10 2 ( ) 21 x d f x ( 1 ) 21 = f − 10 2 ( ) 21 x f x d x 例 4
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> x sin t 1 sin t f(x) f(1) dt=0 2 2 Sind sinx f"(x) 2x f rf()dx=f() 2Joxr'(r)dx 2rsinx dx sinx ds cosx」l=(c0s1-1) 2 Http://www.heut.edu.cn
= 2 1 , sin ( ) x d t t t f x , 2sin 2 sin ( ) 2 2 2 x x x x x f x = = 1 0 xf (x)dx (1) 2 1 = f − 1 0 2 ( ) 2 1 x f x d x = − 1 0 2 2 sin 2 1 x x d x = − 1 0 2 2 sin 2 1 x d x 1 0 2 cos 2 1 = x (cos 1 1). 2 1 = − 0, sin (1) 1 1 = d t = t t f
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例5证明定积分公式 In= sin" xdx= cos"xdx 0 n-1n-33 n为正偶数 nn-2422 n-1n-342 大于1的正奇数 nn-253 证设u=sin"lx,dhv= since du=(n-1)sin"x cos x, v=-cos x, Http://www.heut.edu.cn
证明定积分公式 = = 2 2 0 0 I sin xdx cos xdx n n n − − − − − − = n n n n n n n n n n , 3 2 5 4 2 1 3 , 2 2 1 4 3 2 1 3 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 sin , 1 u x n− = dv=sinxdx, ( 1)sin cos , 2 du n x xdx n− = − v = −cos x, 例5
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> L,=Esin"lxcosx1o+(n-1S sin"x co 'xdx 0 1-sin x Ln=(n-1l sin xdx-(n-d sin"xdx (n-1)n2-(n-1)n n-1 n=In2积分关于下标的递推公式 n-2S々 3 n-4 ,直到下标减到0或1为止 n-2 Http://www.heut.edu.cn
I x x n x xd x n n n − − = − + − 2 2 0 2 2 0 1 sin cos ( 1) sin cos x 2 0 1− sin I n xdx n xdx n n n = − − − 2 − 2 0 0 2 ( 1) sin ( 1) sin n n (n 1)I (n 1)I = − −2 − − 2 1 − − n = n I n n I 积分 I n 关于下标的递推公式 2 4 2 3 − − − − n = n I n n I , 直到下标减到0或1为止
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2n-12m-3531 2n2m-2642 0 (m=1,2,…) 2n2m-2642 2m+1 2n+12m-1753 15 0 π—2 0乙元 sin xdx =1 于是 2n-12m-3 531元 2m2m-26422 2m2m-2642 2n+1 2n+12m-1 753 Http://www.heut.edu.cn
, 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 0 I m m m m I m − − − = , 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 I m m m m I m − − + + = (m = 1,2, ) , 2 2 0 0 = = I dx sin 1, 2 0 1 = = I xdx , 2 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 − − − = m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 − − + + = m m m m I m 于是