河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 定积分的应用（6.1）平图形的面积

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第六章定积分的应用 平面图形的面积 立体的体积 平面曲线的弧长 Http://www.heut.edu.cn

第六章 定积分的应用 平面图形的面积 立体的体积 平面曲线的弧长

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定积分的元素法 ◎直角坐标情形 ◎极坐标情形 Http://www.heut.edu.cn

第 1 节 平面图形的面积 直角坐标情形 极坐标情形 定积分的元素法

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 题的提出 回顾曲边梯形求而积的问题 曲边梯形由连续曲线y y=∫(x) y=f(x)(∫(x)≥0)、 轴与两条直线 所围成。 b A=f(x)dx a Http://www.heut.edu.cn

回顾 曲边梯形求面积的问题  = b a A f (x)dx 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f ( x )( f ( x)  0) 、 x 轴与两条直线x = a 、 x = b 所围成。 a b x y o y = f (x) A 1.问题的提出

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 元素法的步驟如下 (1)把区间[a,b分成个长度为△x2的小区间 相应的曲边梯形被丹为个小窄曲边梯形,第 小窄曲边梯形的面积为41,则=∑△4 i=1 △A;≈f(5)x;5;∈△ (2)计算4,的近似值 (3)求和,得4的近似值A≈∑f(5)Ax (4)求极限,得A的精确值 I=」 A=im∑f(5)Ax=Jf(x)dx Http://www.heut

（1）把区间[a, b]分 成n 个长度为 i x 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 小窄曲边梯形的面积为Ai ， 则  = =  n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i i A  f ( )x i i   x （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A   f x =  （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A =  f x = → lim ( ) 1 0    = b a f ( x)dx 一、元素法的步骤如下

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 提 这个方法通常叫做元素 示围 法 面积元素 若用△A表示任一小区间 x,x+△x]上的窄曲边梯形的面积, 则4=∑△4,并取△A≈(x)dx y于f(x) 于是≈∑f(x) a+ x A=lim>f(x)dc f(x)d Http://www.heut.edu.cn

a b x y o y = f (x) 若 用A 表示任一小区间 [ x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则 A =  A ，并取A  f ( x)d x ， 于 是A   f ( x )dx A = lim f (x)dx ( ) .  = b a f x dx x x + dx dA 面 积 元 素 提 示 这个方法通常叫做元素 法．

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 元素法的应用方向 平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长 功 水压力 ▲引力和平均值 Http://www.heut.edu.cn

引力和平均值 元素法的应用方向： 功 水压力 平面曲线的弧长 平面图形的面积 体 积

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 思考题 微元法的实质是什么? Http://www.heut.edu.cn

微元法的实质是什么？ 思 考 题

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 思考题解答 微元法的实质仍是“和式”的极限 Http://www.heut.edu.cn

微元法的实质仍是“和式”的极限. 思考题解答

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、直角坐标系情形 y=∫(x) J f1(x) 0 xx+△x b x△x b 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 b A= f(x)ldx A=5 52(x)=S1(o)ldx tt p : // h

x y o y = f ( x) a b x y o ( ) 1 y = f x ( ) 2 y = f x a b 曲边梯形的面积  = b a A f (x) d x 曲边梯形的面积  = − b a A f (x) f (x) d x 2 1 x x + x xx 二、直角坐标系情形

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1计算由两条抛物线y=x和y=x所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 (0,0)(1,1) dy=x 选x为积分变量x∈|0,ll 0,20,40.60.8 面积元素d4=(x-x2)dx 2 3 x一x 3 3 0 Http://www.heut.edu.cn

例 1 计算由两条抛物线y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x  [0,1] A ( x x )d x 2 1 0 = −  1 0 3 3 3 2 2 3       = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y