言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 第四章不定积分 不定积分的概念与性质 换元积分法 分部积分法 几种特殊类型函数的积分 H tt p:// www,heut.edu.cn
不定积分的概念与性质 第四章 不定积分 换元积分法 分部积分法 几种特殊类型函数的积分
言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 第一节不定积分的概念 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结 H tt p:// www,heut.edu.cn
第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结
言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 原函数与不定积分的概念 如果在区间内,可导函数F(x)的 导函数为f(x),即vx∈I,都有F(x)=f(x) 或lF(x)=f(x),那么函数F(x)就称为f(x) 或∫(x)d在区间/内原函数 例(sinx)= cost sin.是cosx的原函数 nx)=(x>0) lnx是在区间(0,+∞)内的原函数 H tt p:// www,heut.edu.cn
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ( 0) 1 ln x x x ln x是 x 1 在区间(0,)内的原函数. 如果在区间I 内，可导函数F( x)的 即x I，都有F( x) f ( x) 或dF(x) f (x)dx，那么函数F(x)就称为 f (x) 导函数为 f (x)， 或 f (x)dx在区间I 内原函数. 定义 一 、原函数与不定积分的概念
言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 原函数存在定理: 简言之 如果函数/(x在区间内连续,连续函 那么在区间内存在可导函数F(x),数一定 使vx∈I,都有F'(x)=∫(x) 有原函 数 问题(1)原函数是否唯一? (2)若不唯一它们之间有什么联系? 9(Sin x)=cos x (sin x+C)=cosx (C为任意常数) H tt p:// www,heut.edu.cn
原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I内连续， 简言之： 连续函 数一定 有原函 数. (1) 原函数是否唯一？ 例 sin x cos x sin x C cos x （C为任意常数） 那么在区间I内存在可导函数F(x)， 使x I，都有F(x) f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 问题：
言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 关于原函数的说明: (1)如果f(x)在区间I上有原函数 F(x),使对任一x∈I,都有F(x)=f(x) 那么,对任何常数C,显然也有 F()+c)l=f(x) 即对任何常数C,函数F(x)+C 也是f(x)的原函数。这说明 如果f(x)有一个原函数,那么 发f(x)就有无限多个原函数 Http://www.heut.edu.cn
关于原函数的说明： 发 就有无限多个原函数。 如果 有一个原函数，那么 也是 的原函数。这说明， 即对任何常数 函数 ( ) ( ) ( ) , ( ) f x f x f x C F x C [ ( ) )] ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) F x C f x C F x x I F x f x f x I 那么，对任何常数 ，显然也有 ，使对任一 ，都有 ：如果 在区间 上有原函数
言等数课租妥媒课 北理工大理等>> (2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数, 则:F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 证 [F(x)-G(x)]=F(x)-G(x) f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数 这说明F(x)与G(x)只差一个常数,因此 当C为任意常数时,表达式F(x)+C就可 表示f(x)的任意一个原函数。 H tt p:// www,heut.edu.cn
证 （C为任意常数） （2）若F(x) 和G( x)都是 f (x) 的原函数， 则：F( x) G( x) C F(x) G(x) F(x) G(x) f (x) f (x) 0 F(x) G(x) C （C为任意常数） 表示 的任意一个原函数。 当 为任意常数时，表达式 就可 这说明 与 只差一个常数，因此 ( ) ( ) ( ) ( ) f x C F x C F x G x
言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 不定积分的定义: 在区间I内,函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称为f(x)在区间内的 不定积分,记为∫f(x)x f(xdx= F(x)+C 被 积积表变 积 任 分号 液积分 函 常 数达 量 数 式 H tt p:// www,heut.edu.cn
任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分的定义： 在区间I内， f (x)dx 被 F(x) C 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f (x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的 不定积分，记为 f (x)dx
言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 例1求∫x3dkc 6 解 xdx=+C 例2求∫ dx 1+x 2 解:( arctan)= 1+x 25 dx= arctan +c H tt p:// www,heut.edu.cn
例1 . 5 x dx 解 , 6 5 6 x x . 6 6 5 C x x dx 解 例2 . 1 1 2 dx x , 1 1 arctan 2 x x arctan . 1 1 2 dx x C x 求 求
言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 解设曲线方程为y=∫(x), 根据题意知=2x, 即f(x)是2x的一个原函数 2xdx=x2+C,∴∫(x)=x2+C, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1 H tt p:// www,heut.edu.cn
设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 2x, dx dy 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2 xdx x C ( ) , 2 f x x C 由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 1. 2 y x 例3
言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 显然,求不定积分得到一积分曲线族 由不定积分的定义,可知 ,2g=()k F'(x)dx= F(x)+C,dF(x)=F(x)+C 微分运算与求不定积分 的运算是互逆的 H tt p:// www,heut.edu.cn
函数 f (x)的原函数的图形称为 f (x)的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 f (x)dx f (x), dx d d[ f(x)dx] f(x)dx, ( ) ( ) , F x dx F x C ( ) ( ) . dF x F x C 微分运算与求不定积分 结论 的运算是 的