高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第三节微积分基本公 积分上限函数及其导数 牛顿—莱布尼兹公式 Http://www.heut.edu.cn
第三节 微积分基本公式 积分上限函数及其导数 牛顿——莱布尼兹公式
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a,b上连续,并且设 为a,b上的一点,考察函数x)在部分区间[a,b 上的定积阶f(x)dx 首先,由承x)在,x上仍旧连续,因此积 存在。这x即表示定积分的上限,又表示积分变量 因为定积分与积分变量的记法无关,所以,为了 起见,可以积分变量改用其它符号,例如用t表示 则上面的定积分 Http://www.heut.edu.cn
设函数 f ( x) 在区间[a, b] 上连续，并且设x 为[a, b]上的一点， 考察函数f(x)在部分区间[a,b] x a 上的定积分f ( x)d x 首先，由于f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此这个 定积分 存在。这时 x 即表示定积分的上限，又表示积分变量。 因为定积分与积分变量的记法无关， 所以，为了明确 起见，可以把 积分变量改用其它符号，例如用t 表示 则上面的定积分可以写 成 一、积分上限函数及其导数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(t)dt 即「f(x)dx=「f(t)dr 如果上限在区间a,b上任意变动,则对于 每一个取定的值,定积分有一个对应值,所以 它在,b上定义了一个函数,称为积分上限 记为Φ(x)=[f(t)lt.积分上限函数 Http://www.heut.edu.cn
记为 ( ) ( ) . = x a x f t d t 如果上限x 在区间[a,b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它 在[a,b]上定义了一个函数， x a f (t)dt 即 = x a f (x)dx x a f (t)dt 称为积分上限函数。 积分上限函数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 积分上限函教的性质 定理1如果f(x)在[a,b上连续,则积分上限的函 数①(x)=「f(OM在a,b1上具有导数,且它的导数 是Φ(x) f(t)lt=f(x)(a≤x≤b) dx a x+△r 证Φ(x+△x)= f∫(t)lt △Φ=Φ(x+△x)-Φ(x) x+△x f(tt- f(tt xx+△vbx tt p : // h
a b x y o 定理１ 如果 f (x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导数 是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) x + x 证 x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = ( x + x) − ( x) f t d t f t d t x a x x a = − + ( ) ( ) (x) x 积分上限函数的性质
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> =f(M+」.f(o)t-Jnf(t x+△v f∫(t)ld 由积分中值定理得 Φ(x): axx+△bx △Φ=∫(4△x5∈Ix,x+Axl Axf(5),m△Φ △Φ lim f(s △x->0△x△x→>0 △x→>0,5→>x Φ(x)=∫(x) Http://www.heut.edu.cn
f t d t f t d t f t d t x a x x x x a = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f()x [ x, x + x], x→0, → x f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = ( x) = f ( x). a b x y o x + x (x) x
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 补充)如果f()连续,a(x)、Bb(x)可导 则F(x)=、f()的导数F(x)为 x F'(x) f(t)dt=fb(x)lo'(x)-fla(x)la'(x) dx Ja(x) 证F(x)= b(x) 十 丿(t)dt a(x) b (x) a(r) f(tdt f(t)di F(x)=fb(x)o'(x)-fla(xJa(x) Http://www.heut.edu.cn
如果 f (t)连续，a(x)、b(x)可导， 则F x f t dt b x a x = ( ) ( ) ( ) ( ) 的导数F( x)为 = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) 证 F x ( )f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 = + f t dt b x = ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t d t a x − F(x) = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x 补充
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 特例如果f()连续,a为常数、b(x)可导, 则函数 b(r) F(x)= 的导数F(x)为 F(x=fbexlo'() Http://www.heut.edu.cn
如 果 f (t)连续，a 为常数、b(x)可导， 则函数 F x f t dt b x a = ( ) ( ) ( ) 的导数F(x)为 F(x) = f b(x)b(x) 特例
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求 COSx →>0 2 0 分析:这是型不定式,应用洛必达法则 0 cos x 解 e dt cos x dx 2 cos cos x (cos x) sInJ·e e dt cos x sInx·e lim cos lim x→>0 2x 2e Http://www.heut.edu.cn
求 lim . 2 1 cos 0 2 x e dt x t x − → 解 − 1 cos 2 x t e dt d x d , cos 1 2 − = − x t e d t d x d (cos ) 2 cos = − − e x x sin , 2 cos x x e − = 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x − → x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 − → = . 2 1 e = 0 0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 例1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2设f(x)在(-∞,+0)内连续,且f(x)>0.证明函 数F(xD0(o)t 在(0,+∞)内为单调增加函数 「nf()dt d 证 d dx Jo yf(Ddt=yf (x), dy Jo f(o)dt=f(x), F(y xf(x)f(t)dt-f(xt(tdt f(t)di 0 Http://www.heut.edu.cn
设 f (x)在(− ,+ )内连续，且 f (x) 0.证明函 数 = xx f t dt tf t dt F x 00 ( ) ( ) ( ) 在(0,+ )内为单调增加函数. 证 x tf t dt d xd 0 ( ) = xf ( x), x f t dt d xd 0 ( ) = f ( x), ( )2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t d t x f x f t d t f x t f t d t F x 例 2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(x)L(x-t)f(odt F(r) (c f(x)>0,(x>0)∴f(t)lr>0, (x-0)f()>0,∴(x-t)f()dt>0, F(x)>0(x>0 故F(x)在(0,+∞)内为单调增加函数 Http://www.heut.edu.cn
( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 − = x x f t d t f x x t f t d t F x f ( x) 0, ( x 0) ( ) 0, 0 x f t d t ( x − t) f (t) 0, ( ) ( ) 0, 0 − x x t f t d t F(x) 0 (x 0). 故F( x) 在(0,+ ) 内为单调增加函数
