高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 习题 主要内容 典型例题 Http://www.heut.edu.cn
习 题 课 主要内容 典型例题
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 一、主要内容 洛必达法则 0,1°,00°型 Cauchy 令y=f8 中值定理[∞=型0 型 取对数 g 0·∞型 f-8 ●● F(x)=x g 型 g Lagrange f(a)=f(b 中值定理 Roe)导数的应用 定理 单调性,极值与最值, n=0 凹凸性,拐点,函数 Taylor 常用的 图形的描绘; 中值定理 泰勒公式曲率;求根方法
洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 − 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1 = g f g f f g 1 1 1 1 − − = 取对数 令 g y = f 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用 一、主要内容
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 1、罗尔中值定理 罗尔(Role)定理如果函数f(x)在闭区间 a,b上连续,在开区间a,b)内可导,且在区间端 点的函数值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b 内至少有一点(a<号<b),使得函数f(x)在该 点的导数等于零, 即f(ξ)=0 Http://www.heut.edu.cn
罗尔（Rolle）定理 如果函数f (x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端 点的函数值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点(a b),使得函数f (x)在该 点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = 1、罗尔中值定理
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 2、拉格朗目中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数f(x) 在闭区间a,b上连续,在开区间a,b)内可导,那 末在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式 f∫(b)-f(a)=∫(ξ)(b-a)成立. 有限增量公式 Δy=∫(x+x)△x(0<0<1) 增量△y的精确表达式 Http://www.heut.edu.cn
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f (x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那 末在(a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. ( ) (0 1). y = f x0 +x x 增量y的精确表达式. 有限增量公式. 2、拉格朗日中值定理
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 推论如果函数f(x)在区间/上的导数恒为零, 那末f(x)在区间/上是一个常数 3、柯西中值定理 柯西( Cauchy)中值定理如果函数f(x)及F(x) 在闭区间ab上连续在开区间(a,b)内可导,且F(x) 在(a,b)内每一点处均不为零,那末在(a,b)内至少 有一点ξ(a<ξ<b),使等式 f(a)-∫(bf(2) 成立 F(a)-F(b)F(ξ) Http://www.heut.edu.cn
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数f (x)及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 ( ) ' F x 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内至少 有一点(a b),使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' = − − F f F a F b f a f b 成立. 推论 ( ) . ( ) , 那末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I 3、柯西中值定理
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 4、洛必达法则 ●● 1.型及型未定式 ●● 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 2.0·∞,0-0,0°,1°,∞型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 注意:洛必达法则的使用条件 Http://www.heut.edu.cn
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 型及 型未定式 0 0 1 . 0 2 0 . 0 , − ,0 0 ,1 , 0型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 0 0 ( ( ) 注意：洛必达法则的使用条件. 4、洛必达法则
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 5、泰勒中值定狸 泰勒( Taylor)中值定理如果函数∫(x)在含有x0 的某个开区间(,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则 当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一 个n次多项式与一个余项Rn(x)之和: f(x)=f(x)+f(x0)(x-x)+(x d-d 0(x-x0)”+Rn(x) n (n+1) 其中Rn(x) (x-x)(在x与x之间 (n+1) Http://www.heut.edu.cn
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 0 x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数,则 当x在(a,b)内 时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的 一 个n次多项式与一个余项R (x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) 其中 x x 在 x 与 x 之间 n f R x n n n + + − + = 5、泰勒中值定理
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 常用函数的麦克芳林公式 2n+1 2n+2 sI= d 十 +(-1) +ox (2n+1) cosx=1-x x x6 +…+(-1) 2n +0(x) (2n)! 2 n+1 In (1+x) +1 十 0(x 23 n+ =1+x+x2+…+x"+0(x”) (1+x)"=1+mx+ (m 2 x 2! m(m-1)…(m-n+1) + x"+o(x") Http://www.heut.edu.cn
( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 3 5 2 1 + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 6! cos 1 2 2 4 6 2 n n n o x n x x x x x = − + − ++ − + ( ) 1 ( 1) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 1 + + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x 1 ( ) 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + − ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n m x o x n m m m n x m m x m x + − − + + + − + = + + 常用函数的麦克劳林公式
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 6、导数的应用 生数单调的判央 定理设函数y=f(x)在an,b上连续,在a,b内 可导 1如果在(a,b内∫(x)>0,那末函数y=f(x)在 a,b上单调增加; 2如果在(a,b内f(x)<0,那末函数=f(x)在 a,b上单调减少 Http://www.heut.edu.cn
定理 [ , ] . 2 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . ( ) [ , ] ( , ) 0 0 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； 如果在 内 ，那末函数 在 可 导 设函数 在 上连续，在 内 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = 6、导数的应用 (1) 函数单调性的判定法
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2)函数的极值及其求法 定义设函数(x)在区间(a,b内有定义,x是(a,b内 的一个点 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)f(x)均成立,就称 f(x)是函数f(x)的一个极小值 Http://www.heut.edu.cn
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , , ( ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 内 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x f x a b x a b 定义 (2) 函数的极值及其求法