高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第二 导法则 ◎和、差、积、商的求导法则 反函数的导数 例题分析 小结 基本导数公式 tt p : // h
第二节 函数 和差积商及反函数求导法则 和、差、积、商的求导法则 反函数的导数 例题分析 小结 基本导数公式
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 再论导数定义 由导数定义若f(x)在可剔极限 f(x+Ax)-f(x0)或Iim ∫(x)-f(x0) x→0 △v 均存在) 换言数就是一类特俯訴 因此可以利用导数类函数的 Http://www.heut.edu.cn
由 导 数 定 义 ： 若 f(x)在x0 可 导,则极限式 x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 + − → 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → 或 ( ) x0 均存在且为f 换言之:导数就是一类特殊形式 的极限, 因此可以利用导数定义 去求某类函数的极限. 复习 再论导数定义
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1上如甚中的坚(x9)里事告新 观察下列极限,指出4表示什么: x-△ △v (2)lim A,其中f(0)=0,且f(0)存在 x→>0x (3)lim f(o +h)-f(o-h h->0 h 解()A=-f(x 3)A=2f(x0) tt p : // h
下列各题中均假定f (x0 )存在,按照导数定义 观察下列极限,指出A表示什么: A x f x x f x x = − − → ( ) ( ) (1) lim 0 0 0 ,其 中 (0) 0,且 (0)存 在 ( ) (2) lim 0 A f f x f x x = = → A h f x h f x h h = + − − → ( ) ( ) (3)lim 0 0 0 解 (1) ( ) x0 A=−f (2)A= f(0) (3) 2 ( ) x0 A= f 例1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2如果f(x)为偶函数,且f(0)存在 证明:f'(O)=0 证f'(0)=limJ(x)-f(0) x→0 令x=im(o)-f(0) t-0 f(x)为偶函数imf(-f() =-f) f(O=0 Http://www.heut.edu.cn
: (0) 0 ( ) , (0) , = f f x f 证明 如果 为偶函数 且 存在 x f x f f x ( ) (0) (0) lim 0 − = → 证 t f t f x t t − − − =− → ( ) (0) lim 0 令 t f t f f x t ( ) (0) ( ) lim 0 − − → 为偶函数 =−f(0) f(0)=0 例2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3 若f"(x)存在 求li m f(xo+ah)-f(xo+ bh) (a,b,c为常数 h→>0 ch 解 原式lim lf(o +al-f(nol-ff(o +bly-f(ro)I 1 f(ro +al-f(o)fro+bly-f(x lim 11-20 h [af"(xo)+bf(xo1=atbf(x Http://www.heut.edu.cn
( ) , 若f x0 存在 ( , , ) ( ) ( ) lim 0 0 0 求 a b c为常数 c h f x a h f x bh h + − + → 解 ch f x a h f x f x b h f x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 0 0 0 0 + − − + − = → 原 式 ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ 1 lim 0 0 0 0 0 h f x b h f x h f x a h f x c h + − − + − = → [ ( ) ( )] 1 0 x0 af x bf c = + ( ) x0 f c a b + = 例3
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例4已知f(1)存在求im f(2-x)-f(1) 解原式=limm1+(-x)-f() 例5已知(0)存在f(0)=0,求im0 tox 解原式 f(c0sx-1)-f(0)c0sx-1 r→0 cos x-1 rg f(0) Http://www.heut.edu.cn
1 (2 ) (1) (1) , lim1 − − − → x f x f f x 已 知 存 在 求 1 [1 (1 ) ] ( 1 ) lim1 − + − − = → x f x f x 解 原 式=− f ( 1 ) xtgx f x f f x (cos 1) (0) , (0) 0, lim0 − = → 已 知 存 在 求 解 ] cos 1 cos 1 (cos 1 ) ( 0 ) lim[0 xt gxx x f x f x − − − − = → 原 式 ( 0 ) 21 = − f 例 4 例 5
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 和差积商的求导法则 画如果函数(x),以(x)在点处可导则它 们的和、差、积、商分母不为零在点x处也 可导,并且 (1)[u(x)±v(x)=u(x)±v'(x) (2)[u(x)v(x)y='(x)v(x)+(x)y(x); (x)1,(x)v(x)-a(x)v(x) (3) (v(x)≠0) v(x) vx Http://www.heut.edu.cn
可 导 并 且 们的和、差、积、商 分母不为零 在 点 处 也 如果函数 在 点 处可导 则 它 , ( ) ( ), ( ) , x u x v x x ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) (3)[ (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); 2 − = = + = v x v x u x v x u x v x v x u x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x 定理 一、和差积商的求导法则
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证(1)、(2)略. 证(3)设∫(x)= u(x) ,(v(x)≠0), v(x) f(x+h)-∫(x) h→>0 h u(x+h) u(r) Ii (x+h v(x) h→0 =lim u(xth)v()-u()v(r+ h h→0 v(x+ h)v(r)h Http://www.heut.edu.cn
证(3) , ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) = v x v x u x 设 f x h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim0 + − = → v x h v x h u x h v x u x v x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim0 + + − + = → h v x u x v x h u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) lim0 − ++ = → 证(1) 、(2) 略
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> u(x+h)-u(xlv(x-u(xlv(x+h-v(x) h→ v(x+h)v(x)h u(+h)-u(x) ν(x+ v(r v(x)-u(x) =lim h→>0 v(x+hv(x) u(x)v(x-u(x)v(x Iv(x) f(x)在x处可导 Http://www.heut.edu.cn
v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h + + − − + − = → 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) v x u x v x − u x v x = f (x)在x处可导
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 推论 (1)D∑f(x)=∑f(x); i=1 (2)[Cf(x)Y=C'(x); (3)ⅢIf1(x)=f1(x)/2(x)…fn(x) i=1 +…+f1(x)/2(x)…fm(x) =∑If(x)k(x) i=1k=1 k≠i Http://www.heut.edu.cn
(1) [ ( )] ( ); 1 1 = = = n i i n i i f x f x (2) [Cf (x)] = Cf (x); ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) (3) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 = + + = = = = n i n k i k i k n n n i i f x f x f x f x f x f x f x f x f x 推论