高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 第二节罗比达如 0 型不定式的定值法 "0·lo1-∞2"10型不定式 H tt p /www.heut.edu
第二节 罗比达法则 "" "型不定式的定值法 0 0 " "0""1 − 2 "1 ''''0 ''型不定式
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 型及一型未定式解法:洛必达法则 如果当→>a(或x→>时两个函数 f(x)与F(x)都趋手零或都趋于无 那末极限1imn(x) F(x 称为或型未定式 0 In sin ax 例如:1im tan x o In x→0x x→0 In sin bx ●● H tt p /www.heut.edu
例如： , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( ) . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) , ( ) , ( ) 称 为 或 型 未 定 式 那 末 极 限 与 都 趋 于 零 或 都 趋 于 无 穷 大 如 果 当 或 时 两 个 函 数 → → → → F x f x f x F x x a x x x a 定义 一 、 型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 理设①当x时函数f(x)及F(x)都趋于 (2)在a点的某领域m本身可以除,分 f'(x)及F'(x)都存在建(x)≠0 (lim 存在或为无穷 x F() 则limi f() =lim- x-a F(x) x-a F() 灾义:这种在一定条件下通过分子分毋分别求导再求极限 确定未定式的值的方油称为洛必达油则. 汽x→∞时,以及x→a,→∞时,该法则仍然成立 Http://www.heut.edu
定义： 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来 确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 当x →时,以及x →a, x →时,该法则仍然成立. 设 (1)当x→0时,函 数f(x)及F(x)都趋于零; ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ), 0 2 f x F x F x a a 及 都 存 在 且 在 点 的 某 领 域 内点 本 身 可 以 除 外 ( ); ( ) ( ) ( )lim 存 在或为无穷大 F x f x x a → 3 . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 则 定理
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 证定义辅助函数 f∫(x),x≠a F(x)x≠a f1(x)= F1(x) 0, 在U(a,6)内任取一点x,在以a与x为端点的区间↓ f(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件, 则有 f(x) f(x)-f(a) f(s) F(x)F(x)-F(a)F)(在与a之间 当x→的5→a,(x) A.∴li ∫"(5) F(x) 5→aF(9) lim f()=lim/(s=a x→aF(x)5→aF'() H tt p /www.heut.edu
证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在 U a 内任取一点 x 在 以a 与 x为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x →a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → →
高数学课趕媒课件 文理工六罗理罗 例1 求lim tanx 0 x→>0 0 解原式 (tan x sec d lim x→0 x-3x+2 例2求lim3 0 x-x+1 解原式=im 3x2-3 =m 13x2-2x-1 x→16x-22 H tt p: //
例 1 解 . tan lim0 x x x→ 求 ( ) (tan ) lim0 = → x x x 原 式 1 sec lim 2 0 x x → = = 1 . 例 2 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim1 − = → x x x . 23 = ) 00( ) 00(
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 元 arctan x 例3求Iim2 x→+ 解 原式 m 1+x lim 1 →+0 x→+1+x In x-In 例4求 lm x→a r-l H tt p /www.heut.edu
例 3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+ 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 原 式 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1 . ) 00( 例 4 x a x a x a −− → ln ln 求 lim a x x a 1 11 = = → lim
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例5 e te 2 0 求lim x>0 1-COS x e te 解lim x>01-gosx x-0 inx e +e 2 x→>0OSx 意:法则可以反复使用 H tt p /www.heut.edu
例5 . cos lim x e e x x x − + − − → 1 2 0 求 解 x e e x e e x x x x x x sin lim cos lim − → − → − = − + − 0 1 0 2 2 0 = + = − → x e e x x x co s lim ( ) 0 0 注意：法则可以反复使用
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 2 例6 1-cos x 0 求in x→>0x-Smx 1-a St 解lim2 令x2=tlim x-)0 x sinx t-0 tsint 1-co st lim 无穷小代 2 t→0 t sin t 2 罗必达法则与无穷小代换联合使用, 往往更加简便。 H tt p /www.heut.edu.cn
t t t x t x x x x t sin cos lim sin cos lim − = − → → 1 1 0 2 2 2 2 0 解 令 2 1 2 1 2 2 0 0 = − = → → t t t t t t t lim sin co s lim 无 穷 小 代 换 例6 2 2 2 0 1 x x x x sin cos lim − → 求 ( ) 0 0 罗必达法则与无穷小代换联合使用， 往往更加简便
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例7求Iim Isin ax x→>0 Isin hx 解原式=im cosa· sin hx coSo lim x→0 bcos bx·sina x→>0 cosa 例8求lim x→+0 nd 解 lim Im 0 x→)+o x→>+vx H tt p /www.heut.edu
例 7 解 . lnsin lnsin lim0 bx ax x→ 求 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim0 = → 原 式 = 1 . ( ) a x b x x cos cos lim→0 = 例 8 n x x ln x lim→+ 求 ( ) 解 0 1 1 1 = = = →+ − →+ →+ n x n x n x n x n x x x x lim lim l n lim
高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例9求im tanx x→tan3x 解原式=S153xc0s2x sec 1 cos- 3x Im 6 cossxsin x sIn bx =-im m 3x元-2c0 sxsinx sin2x 6 cos bx =m 3. x→2c0s2x H tt p /www.heut.edu
例 9 解 . tan3 tan lim2 xx x → 求 x x x 3sec 3 sec lim 22 2 → 原式 = xx x 2 2 2 cos cos 3 lim 31 → = x x x x x 2cos sin 6cos 3 sin 3 lim 31 2 −− = → xx x sin 2 sin 6 lim2 → = xx x 2cos 2 6cos 6 lim2 → = = 3 .( )
