、向量的概念 M 向量:既有大小又有方向的量 向量表示:a或M1M2 M 以M1为起点,M2为终点的有向线段 向量的模:向量的大小.|d或|M,M2 王单位向量:模长为1的向量d或M,M2 零向量:模长为的向量0 上页
向量:既有大小又有方向的量. 向量表示: 以M1为起点,M2 为终点的有向线段. M1 M 2 a M1M2 模长为1的向量. M1M2 0 0 a 零向量:模长为0的向量. 0 | a | M1M2 向量的模:向量的大小. | | 单位向量: 一、向量的概念 或 或 或
自由向量:不考虑起点位置的向量 相等向量:大小相等且方向相同的向量 b 负向量:大小相等但方向相反的向量d 同径:空间直角坐标系中任一点M与原点 构成的向量.OM 上页
自由向量:不考虑起点位置的向量. 相等向量:大小相等且方向相同的向量. 负向量:大小相等但方向相反的向量. a − 向径: a b a − a 空间直角坐标系中任一点 与原点 构成的向量. OM M
庄二、向量的加减法 加法:a+b=c (平行四边形法则) (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地:若db分为同向和反向 b c|c|=a|+|b b c|=|a|-|b1 上页
[1] 加法: a b c + = a b c (平行四边形法则) 特殊地:若 a ‖ b a b c | c | | a | | b | = + 分为同向和反向 b a c | c | | a | | b | = − (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 二、向量的加减法
王 向量的加法符合下列运算规律 出(1)交换律:a+b=b+a (2)结合律:a+b+c=(l+b)+c=a+(b+c (3)a+(a)=0 2]减法a-b=a+(-b) b b …a+b C=a+(-b) a-b =a-b 王页下
向量的加法符合下列运算规律: (1)交换律: a b b a. + = + (2)结合律: a b c a b c + + = ( + )+ a (b c). = + + (3) ( ) 0. a + −a = [2] 减法 a b a ( b) − = + − a b b − b c − a b c a b = − = + (− ) a b + a b a − b
生三、向量与数的乘法 c设是一个数,向量与的乘积规定为 (1)>0,M与同向,|a=A|dl 王(2x=0,4=0 工工工 (3)<0,M与反向,|=|l 2 上页
设 是一个数,向量a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向,| a | |a | = (2) = 0, 0 a = (3) 0, a 与a 反向,| a | | | |a | = a a 2 a 2 1 − 三、向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)结合律:()=1(2a)=(4)a (2)分配律:(+pa=Aa+pu n(a+b=na+2b 两个向量的平行关系 定理设向量a≠0,那末向量b平行于a的充 分必要条件是:存在唯一的实数礼,使b=a 上页
数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)结合律: ( a) ( a) = a = () (2)分配律: a a a ( +) = + a b a b ( + ) = + . 0 b a a b a = 分必要条件是:存在唯 一的实数 , 使 定 理 设向量 ,那末向量 平行于 的 充 两个向量的平行关系
证充分性显然; 必要性设a取儿=, 当b与d同向时元取正值, 当b与a反向时取负值,即有b=An. 此时b与同向.且A=1a=a=6 九的唯一性设b=aa,又设b =ua, 两式相减,得(4-4)a=0,即元-l=0, l≠0,故x-=0,即= 上页
证 充分性显然; 必要性 a b ‖ 设 , a b 取 = 当b 与 a同向时 取正值, 当b 与 a 反向时 取负值, b a. 即有 = 此时 b 与 a同向. a a 且 = a a b = b . = 的唯一性. 设 b a, = 又设 b a, = 两式相减,得 ( ) 0, − a = 即 − a = 0, a 0, 故 − = 0, 即 =